LOGIKA MATEMATIKA

A. Pernyataan dan Bukan Pernyataan ( Kalimat Terbuka )
1. Pengertian Logika
Logika adalah ilmu yang mempelajari asas-asas penelaran yang benar yang dipandang dari kebenaran dan kesalahan.
2. Pernyataan
Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil misalnya p,q ,r, s,….
Contoh pernyataan :
1) Matematika termasuk pelajaran ilmu pasti ( pernyataan benar )
2) 3 + 4 = 7 ( pernyataan benar )
3) Jika x = 4, maka x2 = 16 ( pernyataan benar )
4) Jika x2 = 16 maka x = 4 ( pernyataan salah karena ada -4 )
5) Semarang ibukota negara Indonesia
3. Bukan Pernyataan dan Kalimat Terbuka
Bukan Pernyataan adalah kalimat yang tidak mempunyai nilai benar atau salah.
Kalimat Terbuka adalah kalimat yang memuat variable atau peubah dan menjadi pernyataan jika variabelnya diganti dengan konstanta tertentu.

Contoh :
1) Apakah pelajaran matematika menyenangkan ? ( kal. Bukan pernyataan
tapi kal. Pertanyaan )
2) Jangan membuang sampah disembarang tempat ( kal. Bukan pernyataan )
3) x + 5 = 10 ( kalimat terbuka persamaan )
4) x + 3y > 6 ( kalimat terbuka pertidaksamaan )
5) Hapus papan tulis itu ! ( kal. Bukan pernyataan tapi kal. Perintah )
B. Operasi Logika Matematika dan Tabel Kebenaranya

1. Operasi Negasi ( Ingkaran )
Ingkaran dari suatu pernyataan benar adalah salah dan ingkaran dari suatu pernyataan salah adalah benar.
Simbol ingkaran adalah ~p atau –p
Kata penghubungan adalah “ Tidak “ , “ Bukan “ , “ Tidaklah benar “ , didepan suatu pernyataan dan disesuaikan dengan tata bahasa yang benar.
Tabel Kebenaran
p ~p
B S
S B

Contoh :
1) p : 3 + 4 = 7
-p : tidak benar 3 + 4 = 7
-p : 3 + 4 ≠ 7
2) q : Semua bilangan prima adalah ganjil
-q : Tidak semua bilangan prima adalah ganjil
-q : Beberapa bilangan prima bukan bilangan ganjil




2. Operasi Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan kata penghubung “ dan “ ditulis “ p dan q “ atau dengan symbol “ p ^ q “
Tabel Kebenaran

p q p ^ q
B B B
B S S
S B S
S S S
Keterangan :
Konjungsi akan bernilai benar apabila kedua pernyataannya bernilai benar.

Contoh :
1. p : 3 bilangan prima ( B )
q : 3 bilangan ganjil ( B )
p ^ q : tiga bilangan prima dan bilangan ganjil ( B )

3. Operasi Disjungsi
Disjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan kata penghubung “ atau “ ditulis “ p atau q “ dengan symbol “ p v q “
Tabel Kebenaran

p q p v q
B B B
B S B
S B B
S S S
Keterangan :
Disjungsi akan bernilai salah apabila kedua pernyataannya bernilai salah.



Contoh :
1. 2 adalah bilangan genap atau bilangan prima ( B )
2. 27 bilangan prima atau 9 + 18 = 27 ( B )
3. 100 bilangan prima atau bilangan ganjil ( S )

4. Operasi Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang berbentuk “ jika p, maka q “ diberi symbol “ p → q “
Dalam implikasi p → q maka pernyataan p disebut antesenden/sebab dan pernyataan q disebut konsekuen/akibat.
Tabel Kebenaran
p q P → q
B B B
B S S
S B B
S S B
Keterangan :
Implikasi akan bernilai salah apabila antesendenya benar dan konsekuennya salah



Contoh :
1. Jika segitiga ABC sama sisi, maka sudut-sudut segitiga ABC sama besar (B)
2. Jika 2 + 5 = 7, maka 2 + 6 = 7 ( S )
3. Jika 4 bilangan prima, maka 4 bilangan genap ( B )

5. Operasi Bi-Implikasi
Bi-Implikasi adalah pernyataan majemuk yang berbentuk “ p jika dan hanya jika q “ diberi symbol “ p ↔ q “
Tabel Kebenaran



p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
Keterangan :
Bi-Implikasi akan bernilai benar apabila kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran sama.



Contoh :
1. Dua buah segitiga akan sebangun jika dan hanya jika sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga itu sama besar ( B )
2. X2 – 3X + 2 = 0 jika dan hanya jika X = 1 atau X = 2 ( B )
3. Semarang ibukota propinsi lampung jika dan hanya jika semarang kota di Sumatra. ( B )

6. Pernyatan Majemuk yang Ekuivalen
Ekuivalensi adalah dua pernyaatan majemuk atau lebih yang mempunyai nilai kebenaran sama.
Implikasi logis adalah pernyataan majemuk yang berbentuk implikasi yang tautology.
Bi-Implikasi logis ( ekuivalensi logis ) adalah pernyataan majemuk yang berbentuk bi-implikasi yang tautology.
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu salah.
Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya tidak selalu benar dan tidak selalu salah.

Tabel Kebenaran
p v –p adalah tautologi
p -p p v -p
B S B
S B B
p ^ -p adalah kontradiksi
p -p p ^ -p
B S S
S B S



p → -p adalah kontingensi
p -p p → -p
B S S
S B B

7. Negasi Pernyataan Majemuk
 ( p ^ q ) ≡ -p v -q
 ( p v q ) ≡ p ^ q
 ( p → q ) ≡ p ^ -q
 ( p ↔ q ) ≡ ( p ^ -q ) V ( -p ^ q )

Contoh ;
1. Tentukan negasi dari saya sedang main sepakbola atau tennis
2. Tentukan negasi dari saya rajin dan pintar

Jawab :
1. Saya tidak main sepakbola dan tidak tennis
2. Saya tidak rajin atau tidak pintar.

8. Pernyataan Berkuantor
Suatu kalimat terbuka yang disertakan kuantor dapat menjadi suatu pernyataan:
1. Kuantor Universal ( umum )
Lambang “ “ dibaca “ untuk semua “ atau “ untuk setiap “
Contoh :
1. Setiap kendaraan bermotor dilengkapi STNK dan BPKB ( B )
2. ( x Є R ) ( 2x + 8 = 12 ) ( S )
Dibaca untuk semua anggota bilangan real x sedemikian sehingga berlaku 2x + 8 = 12
2. Kuantor Eksistensial ( khusus )
Lambang “ Э “ dibaca “ ada “ atau “ beberapa “ , “ sebagian “


Contoh :
1. Beberapa siswa SMK tidak memakai seragam ( B )
2. Ada bilangan K sehingga 5 x K = 25 ( B )
3. ( Э x,y Є B ) ( x2 + y2 = 25 ) ( B )
Dibaca :Ada bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga berlaku x2 + y2 = 25

3. Negasi Pernyataan Berkuantor

Pernyataan Negasi / Ingkaran
Setiap/semua p adalah q
( x) ( p(x)) *Ada/beberapa p bukan q ( Эx) [ P(x)]
* Tidak benar bahwa setiap p berlaku q
 [ ( x) ( p(x))]
Ada/beberapa p adalah q
(Эx) ( p(x)) * Semua/setiap p adalah q ( x) [ p(x)]
* Tidak benar bahwa beberapa p adalah q
 [ (Эx) (p(x))]
Contoh :
1. p: Semua kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar bensin ( S )
-p : Tidak semua kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar bensin( B )
-p : Beberapa kendaraan bermotor tidak menggunakan bahan bakar
bensin(B)
2. ( x ЄR ) ( sin2 + cos2 = 1 )
-p : - ( xЄR ) ( sin2 + cos2 = 1 )
-p : (ЭxЄR) (sin2 + cos2 ≠ 1 )

C. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi baru, yaitu :
1. Konvers : q → p
2. Invers : -p → -q
3. Kontraposisi : -q → -p

Contoh :
Implikasi : Jika x bilangan ganjil, maka x2 bilangan genap
Konvers : Jika x2 bilangan genap, mak x bilangan ganjil
Invers : Jika x bilangan genap, maka x2 bilangan ganjil
Kontraposisi : Jika x2 bilangan ganjil, maka x bilangan genap

D. Penarikan Kesimpulan
Dalam proses pengambilan kesimpulan pernyataan-pernyataan disebut dengan PREMIS dan kesimpulannya disebut KONKLUSI.
Pernyataan yang sah itu yang tautology

1. Modus Ponens Contoh :
Premis I : p → q P I : Jika saklar ditekan, maka lampu menyala
Premis II : p P II : Saklar ditekan
Konklusi : q K : Lampu menyala
2. Modus Tollens
Premis I : p → q P I : Jika andi anak yang pandai, maka ia lulus ujian
Premis II : -q P II : Andi tidak lulus ujian
Konklusi : -p K : Andi anak yang bodoh
3. Sillogisme
Premis I : p → q P I : Jika ani rajin belajar, maka ia pandai
Premis II : q → r P II : Jika ani pandai, maka ia hidup bahagia
Konklusi : p → r K : Jika ani rajin belajar, maka ia hidup bahagia