BILANGAN REAL

A. Sistem Bilangan Real

1. Pengertian Bilangan Real
Bilangan real adalah sekumpulan bilangan yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional, atau bilangan real adalah bilangan yang dapat berkorespodensi satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan.

2. Macam-macam Bilangan
a. Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan A.
A = { 1, 2, 3, 4, … }
A mempunyai beberapa himpunan bagian, antara lain :
Himpunan bilangan ganjil = { 1, 3, 5, 7, … }
Himpunan bilangan genap = { 2, 4, 6, 8, … }
Himpunan bilangan prima = { 2, 3, 5, 7, … }
Himpunan bilangan komposit = { 4, 6, 8, 9, 10, … }
b. Bilangan Cacah
Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan C.
C = { 0, 1, 2, 3, … }
c. Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat
B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
d. Bilangan Pecahan
Bentuk umum :
e. Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q.
Q = { dan }
f. Bilangan Irasional
Himpunan bilangan irasional dilambangkan dengan I.
g. Bilangan Real
Himpunan bilangan real dilambangkan dengan R.
R = Q  I
h. Bilangan Kompleks
Himpunan bilangan kompleks dilambangkan dengan K.
K = { a+bi  a,bR dan i = }

B. Operasi Bilangan Real

1. Sifat-sifat Operasi Bilangan Real
a. Sifa komutatif
Jika a,bR, maka :
a + b = b + a  komutatif terhadap penjumlahan.
a x b = b x a  komutatif terhadap perkalian.
b. Sifat asosiatif
Jika a,b,cR, maka :
(a + b) + c = a + (b + c)  asosiatif terhadap penjumlahan.
(a x b) x c = a x (b x c)  asosiatif terhadap perkalian.
c. Sifat distributif
Jika a,b,cR, maka :
a(b + c) = (a x b) + (a x c)  distributif kanan.
(a + b)c = (a x c) + (b x c)  distributif kiri.
d. Elemen identitas
- Elemen identitas terhadap penjumlahan adalah 0, karena aR maka a + 0 = 0 + a = a.
- Elemen identitas terhadap perkalian adalah 1, karena aR maka a x 1 = 1 x a = a.
e. elemen invers
- Elemen invers pada operasi penjumlahan adalah lawannya.
Jika aR maka a + (-a) = 0, -a adalah invers terhadap penjumlahan dari a.
Contoh : invers terhadap penjumlahan dari 2 adalah -2.
- Elemen invers pada operasi perkalian adalah kebalikannya.
Jika aR maka a x = 1, adalah invers terhadap perkalian dari a.
Contoh : invers terhadap perkalian dari 5 adalah .
f. Sifat tertutup
Jika a,bR, maka :
a + b R  tertutup terhadap penjumlahan.
a x b R  tertutup terhadap perkalian

2. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat
a. Operasi penjumlahan dan pengurangan.
Jika a,b,c,d R, maka :
1) a + b = a – (-b)
2) a – b = a + (-b)
3) –a – b = – (a + b)
4) –a + b = b – a



b. Operasi perkalian dan pembagian.
Jika a,b,c,d R, maka :
1) a x b = b + b + b + … + b

a suku
2) = a .
3. Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan
a. Operasi penjumlahan dan pengurangan.
Jika a,b,c,d R, maka :
1) + =
2) - =
3) + =
4) - =

b. Operasi perkalian dan pembagian.
Jika a,b,c,d R, maka :

1) x =
2) : = x =
3) : b = x =
4) : c = x =

C. Konversi Bilangan Pecahan
1. Bentuk-bentuk bilangan pecahan :
a. Pecahan biasa, yaitu pecahan yang berbentuk ; a,bB ; b 0 ; b bukan faktor a.
b. Pecahan desimal, yaitu pecahan yang dinyatakan dalam tanda koma.
c. Persen, yaitu pecahan yang penyebutnya 100, ditulis …%.
2. Konversi pecahan ke desimal
Konversi pecahan ke bentuk desimal dapat dilakukan dengan langkah membagi pembilang dengan penyebutnya.
Contoh: 1) = 0,75
2) = 0,666… (pecahan desimal berulang tak terbatas)
Catatan: 0,666… dapat ditulis 0,
0,323232… dapat ditulis 0,
3. Konversi decimal ke persen
Konversi desimal ke persen dapat dilakukan dengan mengalikan pecahan desimal tersebut dengan 100%.
Contoh: = 0,75 = 0,75 x 100% = 75%
4. Konversi desimal ke pecahan
Konversi desimal ke bentuk pecahan dilakukan dengan melihat kondisinya, yaitu :
a. Bilangan desimal terbatas
Contoh: 1) 0,2 = 3) 0,324 =
2) 0,23 =
b. Bilangan desimal berulang tak terbatas.
Contoh:
Tentukan bentuk pecahan biasa dari 0,666… !
Jawab:
Misal p = 0,666…
Diperoleh 10p = 6,666…
p = 0,666… −
9p = 6
 p = =
5. Konversi persen ke pecahan dan desimal.
Konversi persen menjadi desimal dilakukan dengan langkah mengubah lambang % menjadi , kemudian menyederhanakannya. Setelah mendapatkan bentuk pecahan selanjutnya diubah ke desimal.

Contoh:
Bentuk pecahan: 44% = 44 x = =
Bentuk desimal: 44% = 44 x = = 0,44

D. Perbandingan, Skala, dan Persen
1. Pebandingan
Perbandingan dua nilai a : b merupakan bentuk pembagian.
Perbandingan a : b dibaca “ a disbanding b “
Contoh: 3 : 5 atau dibaca “ 3 dibanding 5 “
Ada dua jenis perbandingan:
a. Perbandingan Senilai
Contoh:
Mobil dengan kecepatan tetap yaitu 60 km/jam, berarti :
Lama berjalan (km) 1 2 3 … n
Jarak (km) 60 120 180 … 60.n
Jika waktu yang dipergunakan bertambah, maka jarak yang dicapai juga bertambah. Perbandingan antara jarak dan waktu tetap yaitu 1 : 60. Dua variabel dengan perbandingan demikian ini disebut perbandingan senilai.

b. Perbandingan Berbalik Nilai
Contoh:
Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh 1 orang akan selesai 60 hari, jika dikerjakan 2 orang selesai 30 hari, dikerjakan 3 orang selesai 20 hari, dan seterusnya.
Banyak orang 1 2 3 … 60
Waktu (hari) 60 30 20 … 1
Jika banyaknya orang yang mengerjakan bertambah maka banyaknya hari berkurang. Perbandingan banyaknya orang dengan banyaknya hari tidak tetap ( tetapi hasil kali dua variabel tersebut tetap yaitu 60 ). Dua variabel dengan perbandingan demikian ini disebut perbandingan berbalik nilai.
Secara matematik, jika variabel-variabel yang saling bergantungan tersebut dinamakan x dan y, sehingga x berubah dari x1 menjadi x2 dan y berubah dari y1 menjadi y2, maka disebut :
(i) Perbandingan senilai, jika : = atau x1 : x2 = y1 : y2
(ii) Perbandingan berbalik nilai, jika : = atau x1 : x2 = y2 : y1

Contoh:
1) Suatu “pigura” akan digambar pada rancangan dengan panjang gambar rancangan 15 cm dan lebar gambar rancangan 10 cm. Jika seorang tukang membuat panjang “pigura” tersebut berukuran panjang 3 m, harus berapa meterkah lebar “pigura” itu ?
Jawab:
Pg = 15 cm; lg = 10 cm; ps = 3m; ls = … ?
Maka : =
ls = = = 2
Jadi lebar “pigura“ itu harus 2 meter.
2) Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukang dalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari, maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelewaikan pekerjaan itu ?
Jawab:
T1 = 4; H1 = 20; H2 = 2; T2 = … ?
Maka : =
T2 = = = 40
Jadi untuk selesai selama 2 hari, harus mempekerjakan 40 rang tukang.
2. Skala
Skala adalah perbandingan antara jarak/panjang pada gambar dengan jarak/panjang sebenarnya. Dalam perbandingan tersebut jarak pada gambar biasanya dinyatakan dengan 1.

Contoh:
Skala pada peta 1 : 150.000. Jarak dua kota pada peta 7,5 cm. Berapakah jarak yang sesungguhnya ?
Jawab:
Jarak yang sesungguhnya = 7,5 x 150.000
= 1.125.000 cm
= 11,25 km
3. Persen
Suatu pecahan dapat ditulis dalam tiga cara, yaitu: pecahan biasa, pecahan decimal, dan persen. Misalnya : = 0,3 = 30%
30% berasal dari = = 30%, hal ini berarti pecahan dalam persen sebenarnya adalah bilangan pecahan biasa yang penyebutnya 100. Dengan demikian setiap bilangan pecahan biasa dapat diubah ke bentuk yang lain atau sebaliknya.

Contoh:
1) Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih.Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu ?
Jawab:
Mtotal = 100 + 20 + 30 = 150 kg
Persentase tembaga = x 100% = 66,7%
Persentase timah hitam = x 100% = 13,3%
Persentase timah putih = x 100% = 20%

2) Banyaknya emen pada suatu adonan dengan pasir hanya 10%. Jika semen itu sebanyak 5 kg, berapa kilogramkah pasir dalam adonan tersebut ?
Jawab:
Adonan pasir dan semen = 100%
Persentase pasir = persentase adonan – persentase semen
= 100% - 10% = 90%
Banyaknya pasir = 5 x = 45
Jadi banyaknya pasir 45 kg.