INTEGRAL

A. Penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas daerah
a. Luas daerah yg dibatasi oleh kurva dg sumbu x

y=f(x) Luas daerah yg dibatasi oleh kurva
y=f(x), garis x=a dan garis x=b
ditentukan oleh :

x L= dx ; utk f(x) ≥ 0
x=a x=b

x=a x=b

o x
L= - dx ; utk f(x) ≤ 0











Contoh soal :
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x+3, sumbu x, x=1 dan x=3
Jawab : y=x+3





x
0 1 3

L= dx = [ ½ x2 + 3x ] = [½ (3)2 + 3(3)] – [½(1)2 + 3(1)]
= [9/2 + 9] – [1/2 + 3]
= 10 satuan luas


2. Hitung luas daerah yg dibatasi oleh kurva y=x2-6x+5 dan sumbu x
Jawab :

x perpotongan dg sumbu x (y=0)
0 1 5 y=x2-6x+5 = 0
(x-1)(x-5) = 0
x=1 atau x=5

L= - ( x2-6x+5 ) dx
= - [1/3 x3-3x2+5x] = -
= - {[125/3-75+25]-[1/3-3+5]}
= - {125/3-1/3-50+3-5}
= - {41 1/3 – 52 }
= 10 SL



b.Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva

y=f(x)



y=g(x)

x
0 x=a x=b
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)’ kurva y=g(x), garis x=a dan garis x=b
Ditentukan oleh rumus :
L= dx ; f(x) ≥ g(x) ; a ≤ x ≤ b




Contoh soal :
1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x, kurva y=2x, garis x=1 dan garis
x=2 y=2x
Jawab :

4 ------------- y=x

2-------


1 2


L= dx = dx = dx = = 1 SL


2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=2-x2 dan kurva y=x
Jawab : perpotongan 2 kurva
2-x2 = x y=x
x2 + x – 2 = 0
(x+2)(x-1) = 0
x=-2 atau x=1
--
L= dx = [2x-1/3x3-1/2x2]
= 4 ½ SL y=2-x2



B. Penggunaan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar

a. Volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu x
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x, garis x=a, garis x=b diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi ditentukan dengan rumus :
V = dx atau V = dx
Contoh soal
Daerah yang dibatasi oleh garis y=x+2 , sumbu x, sumbu y dan garis x=2, diputar sejauh
3600 mengelilingi sumbu x. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.
Jawab : V = dx = dx = dx
V= [1/3 x3+2x2+4x]
V= 18 SV
b. Volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x=g(y), sumbu y, garis y=c, garis y=d
diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang terjadi
ditentukan dengan rumus :
V = dy atau V = dy
Contoh soal
Daerah yang dibatasi oleh garis y=2x , sumbu y, garis y=1, dan garis y=2 diputar sejauh
3600 mengelilingi sumbu y. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.
Jawab
V = dy ; y = 2x maka x = ½ y
V = dy = dy
V = [ y3] = SV