TRIGONOMETRI
DOWNLOAD SEKARANG ???!
Rabu, 05 Mei 2010
Selasa, 04 Mei 2010
TIPS MENDIDIK ANAK
8 TIPS MENDIDIK ANAK
Jika anak dibesarkan dengan celaan maka ia akan belajar memaki.
Jika anak dibesarkan dengan permusuhan maka ia kan belajar berkelahi.
Jika anak dibesarkan dengan cemoohan, ia akan belajar rendah diri.
Jika anak dibesarkan dengan penghinaan, ia akan belajar menyesali diri.
Jika anak dibesarkan dengan toleransi, ia akan belajar menahan diri.
Jika anak dibesarkan dengan dorongan, ia akan belajar percaya diri.
Jika anak dibesarkan dengan sebaik-baiknya perlakuan, ia kan belajar keadilan.
Jika anak dibesarkan dengan kasih sayang dan persahabatan, ia akan belajar menemukan cinta dalam kehidupan.
Jika anak dibesarkan dengan celaan maka ia akan belajar memaki.
Jika anak dibesarkan dengan permusuhan maka ia kan belajar berkelahi.
Jika anak dibesarkan dengan cemoohan, ia akan belajar rendah diri.
Jika anak dibesarkan dengan penghinaan, ia akan belajar menyesali diri.
Jika anak dibesarkan dengan toleransi, ia akan belajar menahan diri.
Jika anak dibesarkan dengan dorongan, ia akan belajar percaya diri.
Jika anak dibesarkan dengan sebaik-baiknya perlakuan, ia kan belajar keadilan.
Jika anak dibesarkan dengan kasih sayang dan persahabatan, ia akan belajar menemukan cinta dalam kehidupan.
KOMPONEN KISI-KISI SOAL PILIHAN GANDA
PENYIAPAN PERANGKAT TES DALAM
BENTUK SOAL PILIHAN GANDA
Oleh :
Arif Hermawan, S.Si
A. PENDAHULUAN
Pendidikan adalah usaha sadar dan terencana untuk mewujudkan suasana belajar dan proses pembelajaran agar peserta didik secara aktif mengembangkan potensi dirinya untuk memiliki kekuatan spiritual keagamaan, pengendalian diri, kepribadian, kecerdasan, akhlak mulia serta keterampilan yang diperlukan dirinya, masyarakat, bangsa dan negara. (Pasal 1 ayat 1 Undang – undang Sistem Pendidikan Nasional No. 20 Tahun 2003).
Penilaian merupakan komponen penting dalam system pendidikan untuk mengetahui perkembangan dan tingkat pencapaian hasil pembelajaran. Penilaian memerlukan data yang baik. Salah satu sumber data itu adalah hasil pengukuran. Kegiatan pengukuran ini biasanya dilakukan melalui tes. Tes sebagai alat ukur, perlu dirancang secara khusus sesuai dengan tujuan peruntukannya, dan perlu dipersiapkan dengan sebaik – baiknya sesuai dengan kaidah – kaidah penyusunannya.
Dalam rangka penyiapan perangkat tes untuk ujian, tahap – tahap kegiatan yang dilakukan meliputi : penyusunan kisi – kisi, penulisan soal, penelaahan soal, perbaikan soal, dan perakitan soal. Setelah soal ditulis berdasarkan kisi – kisi yang telah disusun, dipandang perlu untuk ditelaah dan diperbaiki. Penelaahan soal dimaksud adalah penelaahan secara kualitatif yaitu kegiatan meneliti kembali soal – soal yang sudah ditulis, dengan mempertimbangkan kaidah – kaidah yang sudah diterapkan dalam penulisan soal. Yang dimaksud dengan perbaikan soal adalah kegiatan menyempurnakan soal yang sudah ditelaah untuk disesuaikan dengan criteria yang tercakup dalam bidang materi, konstruksi, dan bahasa yang belum dipenuhi. Soal – soal yang telah diperbaiki itu, selanjutnya dirakit menjadi perangkat tes. Yang dimaksud dengan perakitan soal adalah kegiatan merangkai butir – butir soal yang sudah diperbaiki menjadi perangkat tes yang siap pakai.
B. PENYUSUNAN KISI – KISI
Pengertian Kisi – kisi
Kisi – kisi adalah suatu format atau matriks yang memuat kriteria tentang soal – soal yang diperlukan atau yang hendak disusun.
Format kisi – kisi bergantung kepada tujuan penggunaan tes. Misal, kisi – kisi tes yang dimaksudkan untuk mendiagnosis kesukaran belajar siswa berbeda dengan kisi – kisi tes yang dimaksudkan untuk melihat prestasi belajar siswa.
Penyusunan kisi – kisi merupakan langkah penting yang perlu dilakukan dalam setiap penulisan soal.
Tanpa adanya kisi – kisi kita tidak dapat mengetahui arah dan tujuan setiap butir soal.
Kegunaan Kisi – kisi
Kisi – kisi tes digunakan sebagai panduan / pedoman dalam penulisan soal dan perakitan soal.
Dengan adanya panduan ini, penulis soal akan dapat menghasilkan soal – soal yang sesuai dengan tujuan tes. Penulis soal yang berbeda juga akan menghasilkan perangkat soal yang relatif sama, baik dari tingkat kedalamannya maupun dari cakupan materi yang ditanyakan.
Syarat kisi – kisi yang baik :
a. Dapat mewakili isi kurikulum secara tepat
b. Komponen – komponennya jelas dan mudah dipahami
c. Komponen – komponennya banyak dan rinci
d. Dapat dibuat soalnya sesuai dengan indikator dan bentuk soal yang ditetapkan
Komponen Kisi – Kisi
Komponen yang diperlukan dalam sebuah kisi – kisi sangat ditentukan oleh tujuan tes yang hendak disusun.
Komponen – komponen ini dapat dihimpun menjadi dua kelompok yaitu, kelompok identitas dan kelompok matriks.
Komponen – komponen yang biasa digunakan dalam penyusunan kisi – kisi tes prestasi belajar adalah sebagai berikut :
1. Jenis sekolah
2. Mata pelajaran
3. Kurikulum yang diacu
4. Alokasi waktu
5. Jumlah soal
6. Bentuk soal
7. Tahun pelajaran
8. Nomor urut
9. Standar Kompetensi Lulusan (SKL)
10. Bahan kelas / semester
11. Materi
12. Indikator
13. Nomor soal
Butir 1 – 7 merupakan komponen identitas dan sisanya termasuk komponen matriks.
C. KAIDAH PENULISAN SOAL PILIHAN GANDA
Kaidah penulisan soal merupakan petunjuk atau pedoman yang perlu diikuti penulis agar soal yang dihasilkan memiliki mutu yang baik. Soal yang mutunya baik adalah soal yang mampu menjaring informasi yang diperlukan.
Untuk dapat menghasilkan soal yang baik, para penulis soal perlu memperhatikan kaidah penulisannya. Kaidah penulisan soal bentuk pilihan ganda terdiri atas tiga segi, yaitu segi: materi, konstruksi dan bahasa. Disamping itu ada hal yang harus diperhatikan, yaitu para penulis soal perlu menghindari hal-hal yang dapat menimbulkan kerawanan, terutama yang menyangkut suku, agama, ras, dan antar golongan (SARA).
Kaidah penulisan soal bentuk pilihan ganda yang harus diikuti para penulis soal adalah seperti berikut ini.
a. Materi
Kaidah penulisan soal ditinjau dari segi materi adalah :
1. Soal harus sesuai dengan indicator
Artinya soal yang disusun harus menanyakan perilaku dan materi yang hendak diukur sesuai dengan tuntutan indikator yang terdapat pada kisi-kisi.
2. Pilihan jawaban harus homogen dan logis
Artinya semua pilihan jawaban harus berasal dari materi sama, penulisannya harus setara, dan semua pilihan jawaban harus logis/masuk akal, dan berfungsi (diperkirakan akan ada yang memilih).
3. Hanya ada satu kunci jawaban yang paling tepat
Setiap soal harus mempunyai satu jawaban yang benar atau paling tepat. Dengan demikian untuk satu soal hanya ada satu kunci jawaban. Jika ada beberapa jawaban yang benar, maka yang merupakan kunci jawaban adalah yang paling tepat. Dalam hal ini harus juga diperhatikan ketepatan penempatan kunci jawaban.
b. Konstruksi
Kaidah penulisan soal ditinjau dari segi konstruksi adalah :
1. Pokok soal dirumuskan dengan singkat, jelas, dan tegas
Artinya bahwa hal yang hendak ditanyakan harus jelas, tidak menimbulkan pengertian atau penafsiran ganda dan hanya mengandung satu persoalan untuk setiap butir soal, jika tanpa melihat pilihan jawaban, siswa sudah dapat mengerti maksud/pertanyaan pada pokok soal, maka dapat disimpulkan bahwa pokok soal tersebut sudah jelas.
2. Rumusan pokok soal dan pilihan jawaban harus merupakan pernyataan yang diperlukan
Artinya perumusan atau pernyataan yang tidak diperlukan harus dihilangkan.
3. Pokok soal tidak memberi petunjuk ke kunci jawaban
Artinya bahwa pada pokok soal tidak boleh terdapat kata/kelompok kata atau ungkapan yang dapat memberikan petunjuk kearah jawaban yang benar
4. Pokok soal tidak menggunakan pernyataan yang bersifat negatif ganda
Artinya bahwa pokok soal jangan menggunakan dua kata atau lebih yang mengandung arti negatif. Hal ini mencegah terjadinya kesalahan interpretasi siswa terhadap arti pernyataan yang dimaksud. Untuk keterampilan bahasa, penggunaan kata negatif ganda diperbolehkan kalau ingin diukur justru pengertian tentang negatif ganda itu sendiri.
5. Gambar/grafik/table/diagram dan sejenisnya jelas dan berfungsi
Artinya jika pada soal terdapat gambar/grafik/table/diagram atau yang sejenisnya yang menyertai soal yang ditanyakan, maka gambar/grafik/table/diagram atau yang sejenisnya, harus jelas, terbaca, dan dapat dimengerti oleh siswa. Jika soal tersebut tetap dapat dijawab tanpa melihat gambar/grafik/tabel atau yang sejenisnya, berarti gambar/grafik/tabel tersebut tidak berfungsi. Dalam hal terakhir ini tidak perlu dipakai gambar/grafik/table/diagram, dan sejenisnya.
6. Panjang rumusan pilihan jawaban relatif sama
Kaidah ini diperlukan karena adanya kecenderungan siswa untuk memilih jawaban yang paling panjang karena seringkali jawaban yang lebih panjang itu lebih lengkap dan merupakan kunci jawaban.
7. Pilihan jawaban jangan menggunakan pernyataan berbunyi, “Semua jawaban di atas salah” atau “Semua jawaban di atas benar”, dan sejenisnya
Dengan adanya pilihan jawaban seperti tersebut, maka secara materi pilihan jawaban sudah berkurang satu, karena jawaban tadi bukan merupakan materi yang ditanyakan.
8. Pilihan jawaban yang berbentuk angka atau waktu disusun berdasarkan urutan besar kecilnya angka atau secara kronologis
Pengurutan angka dilakukan dari angka kecil ke angka besar, atau sebaliknya, dan pengurutan waktu berdasarkan kronologis waktu. Pengurutan tersebut dimaksudkan untuk memudahkan siswa melihat pilihan jawaban.
9. Butir soal jangan bergantung pada jawaban soal sebelumnya
Ketergantungan pada soal sebelumnya akan mengakibatkan siswa yang tidak dapat menjawab soal pertama, tidak dapat menjawab soal berikutnya.
c. Bahasa
Kaidah penulisan soal ditinjau dari segi bahasa adalah :
1. Menggunakan bahasa yang sesuai dengan kaidah bahasa Indonesia
Dalam penyusunan soal, penggunaan bahasa yang sesuai dengan kaidah bahasa Indonesia yang baik dan benar, harus selalu diperhatikan.
2. Menggunakan bahasa yang komunikatif
Artinya bahasa yang digunakan dalam soal harus sesuai dengan tingkat penguasaan bahasa siswa sehingga soal mudah dimengerti.
3. Tidak menggunakan bahasa yang berlaku setempat (bias budaya)
Penggunaan bahasa yang berlaku setempat akan mengakibatkan kesalahan/perbedaan penafsiran.
4. Pilihan jawaban tidak mengulang kata/kelompok kata yang sama
Penggunaan kata/kelompok kata yang sama yang bukan merupakan satu kesatuan harus ditempatkan pada pokok soal.
D. SARAN DALAM PENULISAN SOAL
1. Soal yang dibuat hendaknya layak untuk mengukur kemampuan intelektual siswa tingkat tertentu.
2. Soal yang dibuat jangan sampai mengakibatkan adanya siswa yang menjadi korban.
3. Perumusan soal hendaknya menggunakan bahasa yang sederhana, sesuai dengan tingkat pendidikan siswa, jelas maksudnya (tidak berpenafsiran ganda), dan harus mengandung pernyataan yang tegas (tidak menimbulkan kemungkinan adanya alternatif jawaban selain yang diharapkan). Hindarkan instruksi yang bersifat rancu.
4. Soal harus memenuhi tiga kebenaran : (a) kebenaran materi; (b) kebenaran metodologi penyusunan soal; dan (c) kebenaran bahasa soal (selaku media komunikasi antara penulis soal dengan penjawab soal.
5. Dalam satu butir soal hendaknya hanya ditanyakan satu persoalan saja (hanya untuk mengukur satu kemampuan).
6. Demi aktualitas dan keandalan soal, hindarilah kesukaan mengutip soal yang sudah pernah digunakan ataupun yang sudah dibukukan dalam kumpulan soal.
7. Soal untuk bentuk tertentu harus betul – betul berbeda dari soal untuk bentuk yang lain.
8. Dalam soal pilihan ganda, setiap opsi harus berarti (mempunyai peran) dalam pengukuran kemampuan siswa, bukan sekedar pendamping jawaban kunci. Ciri opsi yang semacam ini adalah antara pengecoh (distractor) dan kuncinya hampir sama atau terasa sulit membedakannya (terutama bagi penjawab yang kurang menguasai masalahnya).
9. Petunjuk mengerjakan soal hendaknya sederhana, jelas maksudnya, dan tidak bertumpang tindih atau bertentangan antara petunjuk umum dengan petunjuk khusus.
E. ANALISIS KONSTRUKSI DAN BAHASA SOAL
1. Kalimat pokok soal berpola bahasa daerah (Jawa) dan pengalihaksaraan kata/istilah asing tidak konsisten :
Bilangan decimal 0,125 jika dinyatakan dalam system bilangan hexsadesimal menjadi …. (16)
a. 0,02
b. 0,2
c. 0,4
d. 0,6
e. 2
Keterangan :
Agar kalimat pokok soal diatas berpola bahasa daerah, kalimat tersebut dapat diubah susunannya, misalnya menjadi :
Jika bilangan desimal 0,125 dinyatakan dalam sistem heksadesimal, bilangan itu akan menjadi …. (16)
Atau :
Bilangan desimal 0,125 dinyatakan dalam sistem heksadesimal menjadi …. (16)
Atau :
Bilangan desimal 0,125 menjadi ….(16) jika dinyatakan dalam sistem heksadesimal.
Selain perbaikan susunan kalimatnya, pengalihaksaraan kata/istilah pun perlu dilakukan secara konsisten. Artinya, kalau kata/istilah itu dapat ditulis menurut sistem bahasa Indonesia dan tidak menimbulkan kesalahan yang fatal atau menyalahi maknanya, sebaiknya ditulis menurut sistem bahasa Indonesia. Kalau salah satu unsur gabungan kata/istilah sudah ditulis menurut sistem bahasa Indonesia, maka unsur lainnya pun perlu disesuaikan.
Contoh :
Kalau ternyata kata decimal sudah dapat dituliskan menjadi desimal, sebaiknya kata system dituliskan menjadi sistem.
2. Susunan kalimat pokok soal membingungkan dan terlalu panjang :
Suatu perjalanan dengan kendaraan kecepatan 40 km/jam ditempuh dalam waktu 1 jam 30 menit, jika kecepatan kendaraan 50 km/jam berapa waktu yang digunakan …
a. 1 jam 40 menit
b. 1 jam 15 menit
c. 1 jam 12 menit
d. 1 jam 10 menit
e. 1 jam
Keterangan :
Kalimat di atas kacau/membingungkan karea polanya isian/lengkapan, tetapi mengandung pemakaian kata tanya berapa. Selain itu, kalimatnya terlalu panjang sehingga mengganggu pemahamannya. Agar menjadi kalimat pokok soal yang baik, kalimat tersebut sebaiknya diubah menjadi :
Suatu perjalanan dengan kendaraan berkecepatan 40 km/jam memakan waktu 1 jam 30 menit. Jika perjalanan itu berkecepatan 50 km/jam, berapa waktu yang digunakan?
Atau :
Suatu perjalanan dengan kendaraan berkecepatan 40 km/jam memakan waktu 1 jam 30 menit. Jika perjalanan itu berkecepatan 50 km/jam, waktu yang digunakan (adalah) ….
3. Gambar dan penjelasan/pernyataannya tidak sesuai, serta kalimat pokok soalnya membingungkan (mengandung pikiran yang kacau) :
Perhatikan gambar disamping, jika diameter pulley A = 25 cm, diameter pulley B = 10,5 cm. Maka jarak titik pusat A dengan titik pusat B adalah …
a. 5,5 cm
b. 21,5 cm
c. 22 cm
d. 22,25 cm
e. 23,25 cm
Keterangan :
Dalam Keterangan gambar atau pernyataan dikatakan bahwa diameter puli A = 25 cm dan diameter puli B = 10,5 cm, diameter kedua puli itu berbeda (tidak sama). Tetapi, kenyataan yang ada pada gambar di samping kiri justru diameter kedua puli itu sama. Agar tidak menyesatkan atau membingungkan peserta ujian/tes gambar perlu disesuaikan dengan pernyataannya.
4. Kalimat pokok soal meragukan
Diameter sebuah kawat digambar 2 cm (skala 5:1) diameter sesungguhnya adalah …
a. 10 mm
b. 6 mm
c. 4 mm
d. 2 ½ mm
e. 2 mm
Keterangan :
Kalimat pokok soal di atas meragukan karena ada kesalahan penulisan kata, yaitu mestinya di gambar (pada gambar), tetapi ditulis digambar (dikenai gambar). Selain itu, penempatan kata-kata diameter sesungguhnya ... di belakang skala cukup mengganggu pemahaman. Agar mudah dipahami, kalimat di atas sebaiknya diubah menjadi :
Perhatikan gambar di bawah ini!
Diameter sebuah kawat = 2 cm. Skala gambar 5:1, diameter sesungguhnya adalah …
Atau :
Perhatikan gambar di bawah ini!
Diameter sebuah kawat= 2 cm. Jika Skala gambar 5:1, diameter sesungguhnya adalah …
Contoh lain :
Harga 4 buku dan 5 pensil adalah Rp. 6.000,-; harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp. 3.300,-. Harga masing-masing adalah …
a. Rp 750,- dan Rp 700,-
b. Rp 600,- dan Rp 700,-
c. Rp 700,- dan Rp 650,-
d. Rp 700,- dan Rp 750,-
e. Rp 750,- dan Rp 600,-
Keterangan :
Penggunaan tanda baca titik koma (;) dalam kalimat diatas menimbulkan keraguan karena dapat ditafsirkan sebagai pengurutan dua kejadian, yaitu: Pertama, harga 4 buku dan 5 pensil adalah Rp 6.000,- (Penulisan yang betul: Rp 6.000,00), dan yang kedua, harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp 3.300,-. (Penulisan yang betul: Rp 3.300,00). Kalau halnya demikian, tentulah sulit dibuat persamaannya karena memiliki kemungkinan yang bermacam-macam.
Kalimat pokok soal di atas akan lebih jelas jika diubah menjadi:
Harga 4 buku dan 5 pensil adalah Rp 6.000,00. Jika harga 2 buku dan 3 pensil saja harganya Rp 3.300,00, berapa harga masing-masing ?
Atau :
Harga 4 buku dan 5 pensil adalah Rp 6.000,00. Jika 2 buku dan 3 pensil saja harganya Rp 3.300,00, harga masing-masing adalah …
DAFTAR PUSTAKA
Depdikbud. 1994. Pedoman Penelaahan, Perbaikan dan Perakitan Soal. Jakarta : Dirjen Dikdasmen Balitbang
Depdiknas. 2008. Panduan Penulisan Soal Pilihan Ganda. Jakarta : Pusat Penilaian Pendidikan Balitbang.
BENTUK SOAL PILIHAN GANDA
Oleh :
Arif Hermawan, S.Si
A. PENDAHULUAN
Pendidikan adalah usaha sadar dan terencana untuk mewujudkan suasana belajar dan proses pembelajaran agar peserta didik secara aktif mengembangkan potensi dirinya untuk memiliki kekuatan spiritual keagamaan, pengendalian diri, kepribadian, kecerdasan, akhlak mulia serta keterampilan yang diperlukan dirinya, masyarakat, bangsa dan negara. (Pasal 1 ayat 1 Undang – undang Sistem Pendidikan Nasional No. 20 Tahun 2003).
Penilaian merupakan komponen penting dalam system pendidikan untuk mengetahui perkembangan dan tingkat pencapaian hasil pembelajaran. Penilaian memerlukan data yang baik. Salah satu sumber data itu adalah hasil pengukuran. Kegiatan pengukuran ini biasanya dilakukan melalui tes. Tes sebagai alat ukur, perlu dirancang secara khusus sesuai dengan tujuan peruntukannya, dan perlu dipersiapkan dengan sebaik – baiknya sesuai dengan kaidah – kaidah penyusunannya.
Dalam rangka penyiapan perangkat tes untuk ujian, tahap – tahap kegiatan yang dilakukan meliputi : penyusunan kisi – kisi, penulisan soal, penelaahan soal, perbaikan soal, dan perakitan soal. Setelah soal ditulis berdasarkan kisi – kisi yang telah disusun, dipandang perlu untuk ditelaah dan diperbaiki. Penelaahan soal dimaksud adalah penelaahan secara kualitatif yaitu kegiatan meneliti kembali soal – soal yang sudah ditulis, dengan mempertimbangkan kaidah – kaidah yang sudah diterapkan dalam penulisan soal. Yang dimaksud dengan perbaikan soal adalah kegiatan menyempurnakan soal yang sudah ditelaah untuk disesuaikan dengan criteria yang tercakup dalam bidang materi, konstruksi, dan bahasa yang belum dipenuhi. Soal – soal yang telah diperbaiki itu, selanjutnya dirakit menjadi perangkat tes. Yang dimaksud dengan perakitan soal adalah kegiatan merangkai butir – butir soal yang sudah diperbaiki menjadi perangkat tes yang siap pakai.
B. PENYUSUNAN KISI – KISI
Pengertian Kisi – kisi
Kisi – kisi adalah suatu format atau matriks yang memuat kriteria tentang soal – soal yang diperlukan atau yang hendak disusun.
Format kisi – kisi bergantung kepada tujuan penggunaan tes. Misal, kisi – kisi tes yang dimaksudkan untuk mendiagnosis kesukaran belajar siswa berbeda dengan kisi – kisi tes yang dimaksudkan untuk melihat prestasi belajar siswa.
Penyusunan kisi – kisi merupakan langkah penting yang perlu dilakukan dalam setiap penulisan soal.
Tanpa adanya kisi – kisi kita tidak dapat mengetahui arah dan tujuan setiap butir soal.
Kegunaan Kisi – kisi
Kisi – kisi tes digunakan sebagai panduan / pedoman dalam penulisan soal dan perakitan soal.
Dengan adanya panduan ini, penulis soal akan dapat menghasilkan soal – soal yang sesuai dengan tujuan tes. Penulis soal yang berbeda juga akan menghasilkan perangkat soal yang relatif sama, baik dari tingkat kedalamannya maupun dari cakupan materi yang ditanyakan.
Syarat kisi – kisi yang baik :
a. Dapat mewakili isi kurikulum secara tepat
b. Komponen – komponennya jelas dan mudah dipahami
c. Komponen – komponennya banyak dan rinci
d. Dapat dibuat soalnya sesuai dengan indikator dan bentuk soal yang ditetapkan
Komponen Kisi – Kisi
Komponen yang diperlukan dalam sebuah kisi – kisi sangat ditentukan oleh tujuan tes yang hendak disusun.
Komponen – komponen ini dapat dihimpun menjadi dua kelompok yaitu, kelompok identitas dan kelompok matriks.
Komponen – komponen yang biasa digunakan dalam penyusunan kisi – kisi tes prestasi belajar adalah sebagai berikut :
1. Jenis sekolah
2. Mata pelajaran
3. Kurikulum yang diacu
4. Alokasi waktu
5. Jumlah soal
6. Bentuk soal
7. Tahun pelajaran
8. Nomor urut
9. Standar Kompetensi Lulusan (SKL)
10. Bahan kelas / semester
11. Materi
12. Indikator
13. Nomor soal
Butir 1 – 7 merupakan komponen identitas dan sisanya termasuk komponen matriks.
C. KAIDAH PENULISAN SOAL PILIHAN GANDA
Kaidah penulisan soal merupakan petunjuk atau pedoman yang perlu diikuti penulis agar soal yang dihasilkan memiliki mutu yang baik. Soal yang mutunya baik adalah soal yang mampu menjaring informasi yang diperlukan.
Untuk dapat menghasilkan soal yang baik, para penulis soal perlu memperhatikan kaidah penulisannya. Kaidah penulisan soal bentuk pilihan ganda terdiri atas tiga segi, yaitu segi: materi, konstruksi dan bahasa. Disamping itu ada hal yang harus diperhatikan, yaitu para penulis soal perlu menghindari hal-hal yang dapat menimbulkan kerawanan, terutama yang menyangkut suku, agama, ras, dan antar golongan (SARA).
Kaidah penulisan soal bentuk pilihan ganda yang harus diikuti para penulis soal adalah seperti berikut ini.
a. Materi
Kaidah penulisan soal ditinjau dari segi materi adalah :
1. Soal harus sesuai dengan indicator
Artinya soal yang disusun harus menanyakan perilaku dan materi yang hendak diukur sesuai dengan tuntutan indikator yang terdapat pada kisi-kisi.
2. Pilihan jawaban harus homogen dan logis
Artinya semua pilihan jawaban harus berasal dari materi sama, penulisannya harus setara, dan semua pilihan jawaban harus logis/masuk akal, dan berfungsi (diperkirakan akan ada yang memilih).
3. Hanya ada satu kunci jawaban yang paling tepat
Setiap soal harus mempunyai satu jawaban yang benar atau paling tepat. Dengan demikian untuk satu soal hanya ada satu kunci jawaban. Jika ada beberapa jawaban yang benar, maka yang merupakan kunci jawaban adalah yang paling tepat. Dalam hal ini harus juga diperhatikan ketepatan penempatan kunci jawaban.
b. Konstruksi
Kaidah penulisan soal ditinjau dari segi konstruksi adalah :
1. Pokok soal dirumuskan dengan singkat, jelas, dan tegas
Artinya bahwa hal yang hendak ditanyakan harus jelas, tidak menimbulkan pengertian atau penafsiran ganda dan hanya mengandung satu persoalan untuk setiap butir soal, jika tanpa melihat pilihan jawaban, siswa sudah dapat mengerti maksud/pertanyaan pada pokok soal, maka dapat disimpulkan bahwa pokok soal tersebut sudah jelas.
2. Rumusan pokok soal dan pilihan jawaban harus merupakan pernyataan yang diperlukan
Artinya perumusan atau pernyataan yang tidak diperlukan harus dihilangkan.
3. Pokok soal tidak memberi petunjuk ke kunci jawaban
Artinya bahwa pada pokok soal tidak boleh terdapat kata/kelompok kata atau ungkapan yang dapat memberikan petunjuk kearah jawaban yang benar
4. Pokok soal tidak menggunakan pernyataan yang bersifat negatif ganda
Artinya bahwa pokok soal jangan menggunakan dua kata atau lebih yang mengandung arti negatif. Hal ini mencegah terjadinya kesalahan interpretasi siswa terhadap arti pernyataan yang dimaksud. Untuk keterampilan bahasa, penggunaan kata negatif ganda diperbolehkan kalau ingin diukur justru pengertian tentang negatif ganda itu sendiri.
5. Gambar/grafik/table/diagram dan sejenisnya jelas dan berfungsi
Artinya jika pada soal terdapat gambar/grafik/table/diagram atau yang sejenisnya yang menyertai soal yang ditanyakan, maka gambar/grafik/table/diagram atau yang sejenisnya, harus jelas, terbaca, dan dapat dimengerti oleh siswa. Jika soal tersebut tetap dapat dijawab tanpa melihat gambar/grafik/tabel atau yang sejenisnya, berarti gambar/grafik/tabel tersebut tidak berfungsi. Dalam hal terakhir ini tidak perlu dipakai gambar/grafik/table/diagram, dan sejenisnya.
6. Panjang rumusan pilihan jawaban relatif sama
Kaidah ini diperlukan karena adanya kecenderungan siswa untuk memilih jawaban yang paling panjang karena seringkali jawaban yang lebih panjang itu lebih lengkap dan merupakan kunci jawaban.
7. Pilihan jawaban jangan menggunakan pernyataan berbunyi, “Semua jawaban di atas salah” atau “Semua jawaban di atas benar”, dan sejenisnya
Dengan adanya pilihan jawaban seperti tersebut, maka secara materi pilihan jawaban sudah berkurang satu, karena jawaban tadi bukan merupakan materi yang ditanyakan.
8. Pilihan jawaban yang berbentuk angka atau waktu disusun berdasarkan urutan besar kecilnya angka atau secara kronologis
Pengurutan angka dilakukan dari angka kecil ke angka besar, atau sebaliknya, dan pengurutan waktu berdasarkan kronologis waktu. Pengurutan tersebut dimaksudkan untuk memudahkan siswa melihat pilihan jawaban.
9. Butir soal jangan bergantung pada jawaban soal sebelumnya
Ketergantungan pada soal sebelumnya akan mengakibatkan siswa yang tidak dapat menjawab soal pertama, tidak dapat menjawab soal berikutnya.
c. Bahasa
Kaidah penulisan soal ditinjau dari segi bahasa adalah :
1. Menggunakan bahasa yang sesuai dengan kaidah bahasa Indonesia
Dalam penyusunan soal, penggunaan bahasa yang sesuai dengan kaidah bahasa Indonesia yang baik dan benar, harus selalu diperhatikan.
2. Menggunakan bahasa yang komunikatif
Artinya bahasa yang digunakan dalam soal harus sesuai dengan tingkat penguasaan bahasa siswa sehingga soal mudah dimengerti.
3. Tidak menggunakan bahasa yang berlaku setempat (bias budaya)
Penggunaan bahasa yang berlaku setempat akan mengakibatkan kesalahan/perbedaan penafsiran.
4. Pilihan jawaban tidak mengulang kata/kelompok kata yang sama
Penggunaan kata/kelompok kata yang sama yang bukan merupakan satu kesatuan harus ditempatkan pada pokok soal.
D. SARAN DALAM PENULISAN SOAL
1. Soal yang dibuat hendaknya layak untuk mengukur kemampuan intelektual siswa tingkat tertentu.
2. Soal yang dibuat jangan sampai mengakibatkan adanya siswa yang menjadi korban.
3. Perumusan soal hendaknya menggunakan bahasa yang sederhana, sesuai dengan tingkat pendidikan siswa, jelas maksudnya (tidak berpenafsiran ganda), dan harus mengandung pernyataan yang tegas (tidak menimbulkan kemungkinan adanya alternatif jawaban selain yang diharapkan). Hindarkan instruksi yang bersifat rancu.
4. Soal harus memenuhi tiga kebenaran : (a) kebenaran materi; (b) kebenaran metodologi penyusunan soal; dan (c) kebenaran bahasa soal (selaku media komunikasi antara penulis soal dengan penjawab soal.
5. Dalam satu butir soal hendaknya hanya ditanyakan satu persoalan saja (hanya untuk mengukur satu kemampuan).
6. Demi aktualitas dan keandalan soal, hindarilah kesukaan mengutip soal yang sudah pernah digunakan ataupun yang sudah dibukukan dalam kumpulan soal.
7. Soal untuk bentuk tertentu harus betul – betul berbeda dari soal untuk bentuk yang lain.
8. Dalam soal pilihan ganda, setiap opsi harus berarti (mempunyai peran) dalam pengukuran kemampuan siswa, bukan sekedar pendamping jawaban kunci. Ciri opsi yang semacam ini adalah antara pengecoh (distractor) dan kuncinya hampir sama atau terasa sulit membedakannya (terutama bagi penjawab yang kurang menguasai masalahnya).
9. Petunjuk mengerjakan soal hendaknya sederhana, jelas maksudnya, dan tidak bertumpang tindih atau bertentangan antara petunjuk umum dengan petunjuk khusus.
E. ANALISIS KONSTRUKSI DAN BAHASA SOAL
1. Kalimat pokok soal berpola bahasa daerah (Jawa) dan pengalihaksaraan kata/istilah asing tidak konsisten :
Bilangan decimal 0,125 jika dinyatakan dalam system bilangan hexsadesimal menjadi …. (16)
a. 0,02
b. 0,2
c. 0,4
d. 0,6
e. 2
Keterangan :
Agar kalimat pokok soal diatas berpola bahasa daerah, kalimat tersebut dapat diubah susunannya, misalnya menjadi :
Jika bilangan desimal 0,125 dinyatakan dalam sistem heksadesimal, bilangan itu akan menjadi …. (16)
Atau :
Bilangan desimal 0,125 dinyatakan dalam sistem heksadesimal menjadi …. (16)
Atau :
Bilangan desimal 0,125 menjadi ….(16) jika dinyatakan dalam sistem heksadesimal.
Selain perbaikan susunan kalimatnya, pengalihaksaraan kata/istilah pun perlu dilakukan secara konsisten. Artinya, kalau kata/istilah itu dapat ditulis menurut sistem bahasa Indonesia dan tidak menimbulkan kesalahan yang fatal atau menyalahi maknanya, sebaiknya ditulis menurut sistem bahasa Indonesia. Kalau salah satu unsur gabungan kata/istilah sudah ditulis menurut sistem bahasa Indonesia, maka unsur lainnya pun perlu disesuaikan.
Contoh :
Kalau ternyata kata decimal sudah dapat dituliskan menjadi desimal, sebaiknya kata system dituliskan menjadi sistem.
2. Susunan kalimat pokok soal membingungkan dan terlalu panjang :
Suatu perjalanan dengan kendaraan kecepatan 40 km/jam ditempuh dalam waktu 1 jam 30 menit, jika kecepatan kendaraan 50 km/jam berapa waktu yang digunakan …
a. 1 jam 40 menit
b. 1 jam 15 menit
c. 1 jam 12 menit
d. 1 jam 10 menit
e. 1 jam
Keterangan :
Kalimat di atas kacau/membingungkan karea polanya isian/lengkapan, tetapi mengandung pemakaian kata tanya berapa. Selain itu, kalimatnya terlalu panjang sehingga mengganggu pemahamannya. Agar menjadi kalimat pokok soal yang baik, kalimat tersebut sebaiknya diubah menjadi :
Suatu perjalanan dengan kendaraan berkecepatan 40 km/jam memakan waktu 1 jam 30 menit. Jika perjalanan itu berkecepatan 50 km/jam, berapa waktu yang digunakan?
Atau :
Suatu perjalanan dengan kendaraan berkecepatan 40 km/jam memakan waktu 1 jam 30 menit. Jika perjalanan itu berkecepatan 50 km/jam, waktu yang digunakan (adalah) ….
3. Gambar dan penjelasan/pernyataannya tidak sesuai, serta kalimat pokok soalnya membingungkan (mengandung pikiran yang kacau) :
Perhatikan gambar disamping, jika diameter pulley A = 25 cm, diameter pulley B = 10,5 cm. Maka jarak titik pusat A dengan titik pusat B adalah …
a. 5,5 cm
b. 21,5 cm
c. 22 cm
d. 22,25 cm
e. 23,25 cm
Keterangan :
Dalam Keterangan gambar atau pernyataan dikatakan bahwa diameter puli A = 25 cm dan diameter puli B = 10,5 cm, diameter kedua puli itu berbeda (tidak sama). Tetapi, kenyataan yang ada pada gambar di samping kiri justru diameter kedua puli itu sama. Agar tidak menyesatkan atau membingungkan peserta ujian/tes gambar perlu disesuaikan dengan pernyataannya.
4. Kalimat pokok soal meragukan
Diameter sebuah kawat digambar 2 cm (skala 5:1) diameter sesungguhnya adalah …
a. 10 mm
b. 6 mm
c. 4 mm
d. 2 ½ mm
e. 2 mm
Keterangan :
Kalimat pokok soal di atas meragukan karena ada kesalahan penulisan kata, yaitu mestinya di gambar (pada gambar), tetapi ditulis digambar (dikenai gambar). Selain itu, penempatan kata-kata diameter sesungguhnya ... di belakang skala cukup mengganggu pemahaman. Agar mudah dipahami, kalimat di atas sebaiknya diubah menjadi :
Perhatikan gambar di bawah ini!
Diameter sebuah kawat = 2 cm. Skala gambar 5:1, diameter sesungguhnya adalah …
Atau :
Perhatikan gambar di bawah ini!
Diameter sebuah kawat= 2 cm. Jika Skala gambar 5:1, diameter sesungguhnya adalah …
Contoh lain :
Harga 4 buku dan 5 pensil adalah Rp. 6.000,-; harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp. 3.300,-. Harga masing-masing adalah …
a. Rp 750,- dan Rp 700,-
b. Rp 600,- dan Rp 700,-
c. Rp 700,- dan Rp 650,-
d. Rp 700,- dan Rp 750,-
e. Rp 750,- dan Rp 600,-
Keterangan :
Penggunaan tanda baca titik koma (;) dalam kalimat diatas menimbulkan keraguan karena dapat ditafsirkan sebagai pengurutan dua kejadian, yaitu: Pertama, harga 4 buku dan 5 pensil adalah Rp 6.000,- (Penulisan yang betul: Rp 6.000,00), dan yang kedua, harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp 3.300,-. (Penulisan yang betul: Rp 3.300,00). Kalau halnya demikian, tentulah sulit dibuat persamaannya karena memiliki kemungkinan yang bermacam-macam.
Kalimat pokok soal di atas akan lebih jelas jika diubah menjadi:
Harga 4 buku dan 5 pensil adalah Rp 6.000,00. Jika harga 2 buku dan 3 pensil saja harganya Rp 3.300,00, berapa harga masing-masing ?
Atau :
Harga 4 buku dan 5 pensil adalah Rp 6.000,00. Jika 2 buku dan 3 pensil saja harganya Rp 3.300,00, harga masing-masing adalah …
DAFTAR PUSTAKA
Depdikbud. 1994. Pedoman Penelaahan, Perbaikan dan Perakitan Soal. Jakarta : Dirjen Dikdasmen Balitbang
Depdiknas. 2008. Panduan Penulisan Soal Pilihan Ganda. Jakarta : Pusat Penilaian Pendidikan Balitbang.
Senin, 03 Mei 2010
BILANGAN REAL
A. Sistem Bilangan Real
1. Pengertian Bilangan Real
Bilangan real adalah sekumpulan bilangan yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional, atau bilangan real adalah bilangan yang dapat berkorespodensi satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan.
2. Macam-macam Bilangan
a. Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan A.
A = { 1, 2, 3, 4, … }
A mempunyai beberapa himpunan bagian, antara lain :
Himpunan bilangan ganjil = { 1, 3, 5, 7, … }
Himpunan bilangan genap = { 2, 4, 6, 8, … }
Himpunan bilangan prima = { 2, 3, 5, 7, … }
Himpunan bilangan komposit = { 4, 6, 8, 9, 10, … }
b. Bilangan Cacah
Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan C.
C = { 0, 1, 2, 3, … }
c. Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat
B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
d. Bilangan Pecahan
Bentuk umum :
e. Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q.
Q = { dan }
f. Bilangan Irasional
Himpunan bilangan irasional dilambangkan dengan I.
g. Bilangan Real
Himpunan bilangan real dilambangkan dengan R.
R = Q I
h. Bilangan Kompleks
Himpunan bilangan kompleks dilambangkan dengan K.
K = { a+bi a,bR dan i = }
B. Operasi Bilangan Real
1. Sifat-sifat Operasi Bilangan Real
a. Sifa komutatif
Jika a,bR, maka :
a + b = b + a komutatif terhadap penjumlahan.
a x b = b x a komutatif terhadap perkalian.
b. Sifat asosiatif
Jika a,b,cR, maka :
(a + b) + c = a + (b + c) asosiatif terhadap penjumlahan.
(a x b) x c = a x (b x c) asosiatif terhadap perkalian.
c. Sifat distributif
Jika a,b,cR, maka :
a(b + c) = (a x b) + (a x c) distributif kanan.
(a + b)c = (a x c) + (b x c) distributif kiri.
d. Elemen identitas
- Elemen identitas terhadap penjumlahan adalah 0, karena aR maka a + 0 = 0 + a = a.
- Elemen identitas terhadap perkalian adalah 1, karena aR maka a x 1 = 1 x a = a.
e. elemen invers
- Elemen invers pada operasi penjumlahan adalah lawannya.
Jika aR maka a + (-a) = 0, -a adalah invers terhadap penjumlahan dari a.
Contoh : invers terhadap penjumlahan dari 2 adalah -2.
- Elemen invers pada operasi perkalian adalah kebalikannya.
Jika aR maka a x = 1, adalah invers terhadap perkalian dari a.
Contoh : invers terhadap perkalian dari 5 adalah .
f. Sifat tertutup
Jika a,bR, maka :
a + b R tertutup terhadap penjumlahan.
a x b R tertutup terhadap perkalian
2. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat
a. Operasi penjumlahan dan pengurangan.
Jika a,b,c,d R, maka :
1) a + b = a – (-b)
2) a – b = a + (-b)
3) –a – b = – (a + b)
4) –a + b = b – a
b. Operasi perkalian dan pembagian.
Jika a,b,c,d R, maka :
1) a x b = b + b + b + … + b
a suku
2) = a .
3. Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan
a. Operasi penjumlahan dan pengurangan.
Jika a,b,c,d R, maka :
1) + =
2) - =
3) + =
4) - =
b. Operasi perkalian dan pembagian.
Jika a,b,c,d R, maka :
1) x =
2) : = x =
3) : b = x =
4) : c = x =
C. Konversi Bilangan Pecahan
1. Bentuk-bentuk bilangan pecahan :
a. Pecahan biasa, yaitu pecahan yang berbentuk ; a,bB ; b 0 ; b bukan faktor a.
b. Pecahan desimal, yaitu pecahan yang dinyatakan dalam tanda koma.
c. Persen, yaitu pecahan yang penyebutnya 100, ditulis …%.
2. Konversi pecahan ke desimal
Konversi pecahan ke bentuk desimal dapat dilakukan dengan langkah membagi pembilang dengan penyebutnya.
Contoh: 1) = 0,75
2) = 0,666… (pecahan desimal berulang tak terbatas)
Catatan: 0,666… dapat ditulis 0,
0,323232… dapat ditulis 0,
3. Konversi decimal ke persen
Konversi desimal ke persen dapat dilakukan dengan mengalikan pecahan desimal tersebut dengan 100%.
Contoh: = 0,75 = 0,75 x 100% = 75%
4. Konversi desimal ke pecahan
Konversi desimal ke bentuk pecahan dilakukan dengan melihat kondisinya, yaitu :
a. Bilangan desimal terbatas
Contoh: 1) 0,2 = 3) 0,324 =
2) 0,23 =
b. Bilangan desimal berulang tak terbatas.
Contoh:
Tentukan bentuk pecahan biasa dari 0,666… !
Jawab:
Misal p = 0,666…
Diperoleh 10p = 6,666…
p = 0,666… −
9p = 6
p = =
5. Konversi persen ke pecahan dan desimal.
Konversi persen menjadi desimal dilakukan dengan langkah mengubah lambang % menjadi , kemudian menyederhanakannya. Setelah mendapatkan bentuk pecahan selanjutnya diubah ke desimal.
Contoh:
Bentuk pecahan: 44% = 44 x = =
Bentuk desimal: 44% = 44 x = = 0,44
D. Perbandingan, Skala, dan Persen
1. Pebandingan
Perbandingan dua nilai a : b merupakan bentuk pembagian.
Perbandingan a : b dibaca “ a disbanding b “
Contoh: 3 : 5 atau dibaca “ 3 dibanding 5 “
Ada dua jenis perbandingan:
a. Perbandingan Senilai
Contoh:
Mobil dengan kecepatan tetap yaitu 60 km/jam, berarti :
Lama berjalan (km) 1 2 3 … n
Jarak (km) 60 120 180 … 60.n
Jika waktu yang dipergunakan bertambah, maka jarak yang dicapai juga bertambah. Perbandingan antara jarak dan waktu tetap yaitu 1 : 60. Dua variabel dengan perbandingan demikian ini disebut perbandingan senilai.
b. Perbandingan Berbalik Nilai
Contoh:
Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh 1 orang akan selesai 60 hari, jika dikerjakan 2 orang selesai 30 hari, dikerjakan 3 orang selesai 20 hari, dan seterusnya.
Banyak orang 1 2 3 … 60
Waktu (hari) 60 30 20 … 1
Jika banyaknya orang yang mengerjakan bertambah maka banyaknya hari berkurang. Perbandingan banyaknya orang dengan banyaknya hari tidak tetap ( tetapi hasil kali dua variabel tersebut tetap yaitu 60 ). Dua variabel dengan perbandingan demikian ini disebut perbandingan berbalik nilai.
Secara matematik, jika variabel-variabel yang saling bergantungan tersebut dinamakan x dan y, sehingga x berubah dari x1 menjadi x2 dan y berubah dari y1 menjadi y2, maka disebut :
(i) Perbandingan senilai, jika : = atau x1 : x2 = y1 : y2
(ii) Perbandingan berbalik nilai, jika : = atau x1 : x2 = y2 : y1
Contoh:
1) Suatu “pigura” akan digambar pada rancangan dengan panjang gambar rancangan 15 cm dan lebar gambar rancangan 10 cm. Jika seorang tukang membuat panjang “pigura” tersebut berukuran panjang 3 m, harus berapa meterkah lebar “pigura” itu ?
Jawab:
Pg = 15 cm; lg = 10 cm; ps = 3m; ls = … ?
Maka : =
ls = = = 2
Jadi lebar “pigura“ itu harus 2 meter.
2) Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukang dalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari, maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelewaikan pekerjaan itu ?
Jawab:
T1 = 4; H1 = 20; H2 = 2; T2 = … ?
Maka : =
T2 = = = 40
Jadi untuk selesai selama 2 hari, harus mempekerjakan 40 rang tukang.
2. Skala
Skala adalah perbandingan antara jarak/panjang pada gambar dengan jarak/panjang sebenarnya. Dalam perbandingan tersebut jarak pada gambar biasanya dinyatakan dengan 1.
Contoh:
Skala pada peta 1 : 150.000. Jarak dua kota pada peta 7,5 cm. Berapakah jarak yang sesungguhnya ?
Jawab:
Jarak yang sesungguhnya = 7,5 x 150.000
= 1.125.000 cm
= 11,25 km
3. Persen
Suatu pecahan dapat ditulis dalam tiga cara, yaitu: pecahan biasa, pecahan decimal, dan persen. Misalnya : = 0,3 = 30%
30% berasal dari = = 30%, hal ini berarti pecahan dalam persen sebenarnya adalah bilangan pecahan biasa yang penyebutnya 100. Dengan demikian setiap bilangan pecahan biasa dapat diubah ke bentuk yang lain atau sebaliknya.
Contoh:
1) Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih.Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu ?
Jawab:
Mtotal = 100 + 20 + 30 = 150 kg
Persentase tembaga = x 100% = 66,7%
Persentase timah hitam = x 100% = 13,3%
Persentase timah putih = x 100% = 20%
2) Banyaknya emen pada suatu adonan dengan pasir hanya 10%. Jika semen itu sebanyak 5 kg, berapa kilogramkah pasir dalam adonan tersebut ?
Jawab:
Adonan pasir dan semen = 100%
Persentase pasir = persentase adonan – persentase semen
= 100% - 10% = 90%
Banyaknya pasir = 5 x = 45
Jadi banyaknya pasir 45 kg.
1. Pengertian Bilangan Real
Bilangan real adalah sekumpulan bilangan yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional, atau bilangan real adalah bilangan yang dapat berkorespodensi satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan.
2. Macam-macam Bilangan
a. Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan A.
A = { 1, 2, 3, 4, … }
A mempunyai beberapa himpunan bagian, antara lain :
Himpunan bilangan ganjil = { 1, 3, 5, 7, … }
Himpunan bilangan genap = { 2, 4, 6, 8, … }
Himpunan bilangan prima = { 2, 3, 5, 7, … }
Himpunan bilangan komposit = { 4, 6, 8, 9, 10, … }
b. Bilangan Cacah
Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan C.
C = { 0, 1, 2, 3, … }
c. Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat
B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
d. Bilangan Pecahan
Bentuk umum :
e. Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q.
Q = { dan }
f. Bilangan Irasional
Himpunan bilangan irasional dilambangkan dengan I.
g. Bilangan Real
Himpunan bilangan real dilambangkan dengan R.
R = Q I
h. Bilangan Kompleks
Himpunan bilangan kompleks dilambangkan dengan K.
K = { a+bi a,bR dan i = }
B. Operasi Bilangan Real
1. Sifat-sifat Operasi Bilangan Real
a. Sifa komutatif
Jika a,bR, maka :
a + b = b + a komutatif terhadap penjumlahan.
a x b = b x a komutatif terhadap perkalian.
b. Sifat asosiatif
Jika a,b,cR, maka :
(a + b) + c = a + (b + c) asosiatif terhadap penjumlahan.
(a x b) x c = a x (b x c) asosiatif terhadap perkalian.
c. Sifat distributif
Jika a,b,cR, maka :
a(b + c) = (a x b) + (a x c) distributif kanan.
(a + b)c = (a x c) + (b x c) distributif kiri.
d. Elemen identitas
- Elemen identitas terhadap penjumlahan adalah 0, karena aR maka a + 0 = 0 + a = a.
- Elemen identitas terhadap perkalian adalah 1, karena aR maka a x 1 = 1 x a = a.
e. elemen invers
- Elemen invers pada operasi penjumlahan adalah lawannya.
Jika aR maka a + (-a) = 0, -a adalah invers terhadap penjumlahan dari a.
Contoh : invers terhadap penjumlahan dari 2 adalah -2.
- Elemen invers pada operasi perkalian adalah kebalikannya.
Jika aR maka a x = 1, adalah invers terhadap perkalian dari a.
Contoh : invers terhadap perkalian dari 5 adalah .
f. Sifat tertutup
Jika a,bR, maka :
a + b R tertutup terhadap penjumlahan.
a x b R tertutup terhadap perkalian
2. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat
a. Operasi penjumlahan dan pengurangan.
Jika a,b,c,d R, maka :
1) a + b = a – (-b)
2) a – b = a + (-b)
3) –a – b = – (a + b)
4) –a + b = b – a
b. Operasi perkalian dan pembagian.
Jika a,b,c,d R, maka :
1) a x b = b + b + b + … + b
a suku
2) = a .
3. Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan
a. Operasi penjumlahan dan pengurangan.
Jika a,b,c,d R, maka :
1) + =
2) - =
3) + =
4) - =
b. Operasi perkalian dan pembagian.
Jika a,b,c,d R, maka :
1) x =
2) : = x =
3) : b = x =
4) : c = x =
C. Konversi Bilangan Pecahan
1. Bentuk-bentuk bilangan pecahan :
a. Pecahan biasa, yaitu pecahan yang berbentuk ; a,bB ; b 0 ; b bukan faktor a.
b. Pecahan desimal, yaitu pecahan yang dinyatakan dalam tanda koma.
c. Persen, yaitu pecahan yang penyebutnya 100, ditulis …%.
2. Konversi pecahan ke desimal
Konversi pecahan ke bentuk desimal dapat dilakukan dengan langkah membagi pembilang dengan penyebutnya.
Contoh: 1) = 0,75
2) = 0,666… (pecahan desimal berulang tak terbatas)
Catatan: 0,666… dapat ditulis 0,
0,323232… dapat ditulis 0,
3. Konversi decimal ke persen
Konversi desimal ke persen dapat dilakukan dengan mengalikan pecahan desimal tersebut dengan 100%.
Contoh: = 0,75 = 0,75 x 100% = 75%
4. Konversi desimal ke pecahan
Konversi desimal ke bentuk pecahan dilakukan dengan melihat kondisinya, yaitu :
a. Bilangan desimal terbatas
Contoh: 1) 0,2 = 3) 0,324 =
2) 0,23 =
b. Bilangan desimal berulang tak terbatas.
Contoh:
Tentukan bentuk pecahan biasa dari 0,666… !
Jawab:
Misal p = 0,666…
Diperoleh 10p = 6,666…
p = 0,666… −
9p = 6
p = =
5. Konversi persen ke pecahan dan desimal.
Konversi persen menjadi desimal dilakukan dengan langkah mengubah lambang % menjadi , kemudian menyederhanakannya. Setelah mendapatkan bentuk pecahan selanjutnya diubah ke desimal.
Contoh:
Bentuk pecahan: 44% = 44 x = =
Bentuk desimal: 44% = 44 x = = 0,44
D. Perbandingan, Skala, dan Persen
1. Pebandingan
Perbandingan dua nilai a : b merupakan bentuk pembagian.
Perbandingan a : b dibaca “ a disbanding b “
Contoh: 3 : 5 atau dibaca “ 3 dibanding 5 “
Ada dua jenis perbandingan:
a. Perbandingan Senilai
Contoh:
Mobil dengan kecepatan tetap yaitu 60 km/jam, berarti :
Lama berjalan (km) 1 2 3 … n
Jarak (km) 60 120 180 … 60.n
Jika waktu yang dipergunakan bertambah, maka jarak yang dicapai juga bertambah. Perbandingan antara jarak dan waktu tetap yaitu 1 : 60. Dua variabel dengan perbandingan demikian ini disebut perbandingan senilai.
b. Perbandingan Berbalik Nilai
Contoh:
Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh 1 orang akan selesai 60 hari, jika dikerjakan 2 orang selesai 30 hari, dikerjakan 3 orang selesai 20 hari, dan seterusnya.
Banyak orang 1 2 3 … 60
Waktu (hari) 60 30 20 … 1
Jika banyaknya orang yang mengerjakan bertambah maka banyaknya hari berkurang. Perbandingan banyaknya orang dengan banyaknya hari tidak tetap ( tetapi hasil kali dua variabel tersebut tetap yaitu 60 ). Dua variabel dengan perbandingan demikian ini disebut perbandingan berbalik nilai.
Secara matematik, jika variabel-variabel yang saling bergantungan tersebut dinamakan x dan y, sehingga x berubah dari x1 menjadi x2 dan y berubah dari y1 menjadi y2, maka disebut :
(i) Perbandingan senilai, jika : = atau x1 : x2 = y1 : y2
(ii) Perbandingan berbalik nilai, jika : = atau x1 : x2 = y2 : y1
Contoh:
1) Suatu “pigura” akan digambar pada rancangan dengan panjang gambar rancangan 15 cm dan lebar gambar rancangan 10 cm. Jika seorang tukang membuat panjang “pigura” tersebut berukuran panjang 3 m, harus berapa meterkah lebar “pigura” itu ?
Jawab:
Pg = 15 cm; lg = 10 cm; ps = 3m; ls = … ?
Maka : =
ls = = = 2
Jadi lebar “pigura“ itu harus 2 meter.
2) Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukang dalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari, maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelewaikan pekerjaan itu ?
Jawab:
T1 = 4; H1 = 20; H2 = 2; T2 = … ?
Maka : =
T2 = = = 40
Jadi untuk selesai selama 2 hari, harus mempekerjakan 40 rang tukang.
2. Skala
Skala adalah perbandingan antara jarak/panjang pada gambar dengan jarak/panjang sebenarnya. Dalam perbandingan tersebut jarak pada gambar biasanya dinyatakan dengan 1.
Contoh:
Skala pada peta 1 : 150.000. Jarak dua kota pada peta 7,5 cm. Berapakah jarak yang sesungguhnya ?
Jawab:
Jarak yang sesungguhnya = 7,5 x 150.000
= 1.125.000 cm
= 11,25 km
3. Persen
Suatu pecahan dapat ditulis dalam tiga cara, yaitu: pecahan biasa, pecahan decimal, dan persen. Misalnya : = 0,3 = 30%
30% berasal dari = = 30%, hal ini berarti pecahan dalam persen sebenarnya adalah bilangan pecahan biasa yang penyebutnya 100. Dengan demikian setiap bilangan pecahan biasa dapat diubah ke bentuk yang lain atau sebaliknya.
Contoh:
1) Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih.Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu ?
Jawab:
Mtotal = 100 + 20 + 30 = 150 kg
Persentase tembaga = x 100% = 66,7%
Persentase timah hitam = x 100% = 13,3%
Persentase timah putih = x 100% = 20%
2) Banyaknya emen pada suatu adonan dengan pasir hanya 10%. Jika semen itu sebanyak 5 kg, berapa kilogramkah pasir dalam adonan tersebut ?
Jawab:
Adonan pasir dan semen = 100%
Persentase pasir = persentase adonan – persentase semen
= 100% - 10% = 90%
Banyaknya pasir = 5 x = 45
Jadi banyaknya pasir 45 kg.
INTEGRAL
A. Penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas daerah
a. Luas daerah yg dibatasi oleh kurva dg sumbu x
y=f(x) Luas daerah yg dibatasi oleh kurva
y=f(x), garis x=a dan garis x=b
ditentukan oleh :
x L= dx ; utk f(x) ≥ 0
x=a x=b
x=a x=b
o x
L= - dx ; utk f(x) ≤ 0
Contoh soal :
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x+3, sumbu x, x=1 dan x=3
Jawab : y=x+3
x
0 1 3
L= dx = [ ½ x2 + 3x ] = [½ (3)2 + 3(3)] – [½(1)2 + 3(1)]
= [9/2 + 9] – [1/2 + 3]
= 10 satuan luas
2. Hitung luas daerah yg dibatasi oleh kurva y=x2-6x+5 dan sumbu x
Jawab :
x perpotongan dg sumbu x (y=0)
0 1 5 y=x2-6x+5 = 0
(x-1)(x-5) = 0
x=1 atau x=5
L= - ( x2-6x+5 ) dx
= - [1/3 x3-3x2+5x] = -
= - {[125/3-75+25]-[1/3-3+5]}
= - {125/3-1/3-50+3-5}
= - {41 1/3 – 52 }
= 10 SL
b.Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva
y=f(x)
y=g(x)
x
0 x=a x=b
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)’ kurva y=g(x), garis x=a dan garis x=b
Ditentukan oleh rumus :
L= dx ; f(x) ≥ g(x) ; a ≤ x ≤ b
Contoh soal :
1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x, kurva y=2x, garis x=1 dan garis
x=2 y=2x
Jawab :
4 ------------- y=x
2-------
1 2
L= dx = dx = dx = = 1 SL
2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=2-x2 dan kurva y=x
Jawab : perpotongan 2 kurva
2-x2 = x y=x
x2 + x – 2 = 0
(x+2)(x-1) = 0
x=-2 atau x=1
--
L= dx = [2x-1/3x3-1/2x2]
= 4 ½ SL y=2-x2
B. Penggunaan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar
a. Volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu x
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x, garis x=a, garis x=b diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi ditentukan dengan rumus :
V = dx atau V = dx
Contoh soal
Daerah yang dibatasi oleh garis y=x+2 , sumbu x, sumbu y dan garis x=2, diputar sejauh
3600 mengelilingi sumbu x. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.
Jawab : V = dx = dx = dx
V= [1/3 x3+2x2+4x]
V= 18 SV
b. Volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x=g(y), sumbu y, garis y=c, garis y=d
diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang terjadi
ditentukan dengan rumus :
V = dy atau V = dy
Contoh soal
Daerah yang dibatasi oleh garis y=2x , sumbu y, garis y=1, dan garis y=2 diputar sejauh
3600 mengelilingi sumbu y. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.
Jawab
V = dy ; y = 2x maka x = ½ y
V = dy = dy
V = [ y3] = SV
a. Luas daerah yg dibatasi oleh kurva dg sumbu x
y=f(x) Luas daerah yg dibatasi oleh kurva
y=f(x), garis x=a dan garis x=b
ditentukan oleh :
x L= dx ; utk f(x) ≥ 0
x=a x=b
x=a x=b
o x
L= - dx ; utk f(x) ≤ 0
Contoh soal :
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x+3, sumbu x, x=1 dan x=3
Jawab : y=x+3
x
0 1 3
L= dx = [ ½ x2 + 3x ] = [½ (3)2 + 3(3)] – [½(1)2 + 3(1)]
= [9/2 + 9] – [1/2 + 3]
= 10 satuan luas
2. Hitung luas daerah yg dibatasi oleh kurva y=x2-6x+5 dan sumbu x
Jawab :
x perpotongan dg sumbu x (y=0)
0 1 5 y=x2-6x+5 = 0
(x-1)(x-5) = 0
x=1 atau x=5
L= - ( x2-6x+5 ) dx
= - [1/3 x3-3x2+5x] = -
= - {[125/3-75+25]-[1/3-3+5]}
= - {125/3-1/3-50+3-5}
= - {41 1/3 – 52 }
= 10 SL
b.Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva
y=f(x)
y=g(x)
x
0 x=a x=b
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)’ kurva y=g(x), garis x=a dan garis x=b
Ditentukan oleh rumus :
L= dx ; f(x) ≥ g(x) ; a ≤ x ≤ b
Contoh soal :
1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x, kurva y=2x, garis x=1 dan garis
x=2 y=2x
Jawab :
4 ------------- y=x
2-------
1 2
L= dx = dx = dx = = 1 SL
2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=2-x2 dan kurva y=x
Jawab : perpotongan 2 kurva
2-x2 = x y=x
x2 + x – 2 = 0
(x+2)(x-1) = 0
x=-2 atau x=1
--
L= dx = [2x-1/3x3-1/2x2]
= 4 ½ SL y=2-x2
B. Penggunaan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar
a. Volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu x
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x, garis x=a, garis x=b diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi ditentukan dengan rumus :
V = dx atau V = dx
Contoh soal
Daerah yang dibatasi oleh garis y=x+2 , sumbu x, sumbu y dan garis x=2, diputar sejauh
3600 mengelilingi sumbu x. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.
Jawab : V = dx = dx = dx
V= [1/3 x3+2x2+4x]
V= 18 SV
b. Volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x=g(y), sumbu y, garis y=c, garis y=d
diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang terjadi
ditentukan dengan rumus :
V = dy atau V = dy
Contoh soal
Daerah yang dibatasi oleh garis y=2x , sumbu y, garis y=1, dan garis y=2 diputar sejauh
3600 mengelilingi sumbu y. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.
Jawab
V = dy ; y = 2x maka x = ½ y
V = dy = dy
V = [ y3] = SV
STATISTIKA
A. Pengertian statistik dan statistika
Statistik adalah gambaran tentang suatu kumpulan data dalam bentuk sebuah nilai
Sedangkan statistika adalah Ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara
pengumpulan data, pengolahan, penganalisaan data serta pembuatan kesimpulan yang
cukup beralasan berdasarkan data dan penganalisaan yang dilakukan.
B. Pengertian populasi dan sampel
Populasi adalah seluruh obyek yang akan diteliti
Sampel adalah sebagian dari populasi yang benar-benar diamati.
C. Macam-macam data
a. Data kualitatif : data yang menunjukkan sifat atau keadaan objek.
Contoh : data tentang mutu atau kualitas padi gabah kering
b. Data kuantitatif : data yang menunjukkan jumlah ukuran objek.
Contoh : data tentang banyak petak sawah untuk masing-masing desa di lima desa
yang dijadikan tempat penelitian.
A. Menyajikan data dalam bentuk tabel
Data yang sudah diperoleh disusun dan disajikan dalam susunan baris dan kolom
sehingga akan tampak lebih jelas dan cepat dibaca daripada disajikan dengan kalimat
biasa.
Penyajian data dalam bentuk daftar/tabel dapat dibuat dalam bentuk :
a. Daftar baris kolom
Contoh : HASIL EBTA SMK N I ADIWERNA TAHUN 2002
JURUSAN LULUS TIDAK LULUS JUMLAH
Bangunan
Elektro
Otomotif 45
48
50 5
2
0 50
50
50
b. Daftar distribusi frekuensi
(i) Daftar distribusi frekuensi tunggal
adalah bentuk daftar pengelompokkan frekuensi berdasarkan nilai data yang
sama.
Contoh : DAFTAR NILAI ULANGAN MATEMATIKA
NILAI FREKUENSI
50
60
70
80
90 6
8
14
6
6
JUMLAH 40
(ii) Daftar distribusi frekuensi berkelompok
adalah daftar distribusi frekuensi yang pengelompokan nilai datanya dibuat
dalam bentuk interval.
Contoh : DAFTAR BERAT BADAN 50 SISWA (dalam kg)
BERAT BADAN BANYAK SISWA
35 – 39
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 - 64 4
5
9
15
12
5
JUMLAH 50
Dari daftar distribusi diatas kita kenal istilah :
(1) Kelas (k) :
Data diatas terbagi menjadi 6 kelas
kelas ke-1 : 35-39
kelas ke-2 : 40-44 dst.
(2) Frekuensi (f)
Banyak data kelas ke-1 (f1) = 4
Banyak data kelas ke-2 (f2) = 5 ; dst.
(3) Jumlah data (n = ∑fi )
n = ∑fi = f1+f2+f3+f4+f5+f6 = 50
(4) Batas kelas : Terdiri dari batas bawah (Bb) dan batas atas (Ba)
Untuk kelas ke-1 : Bb = 35, Ba = 39
Untuk kelas ke-2 : Bb = 40, Ba = 44 ; dst.
(5) Tepi kelas (limit kelas) : Terdiri dari tepi bawah dan tepi atas
Tb = Bb kelas itu + Ba kelas sebelumnya
2
Ta = Ba kelas itu + Bb kelas sesudahnya
2
Atau Tb = Bb – 0,5
Ta = Ba + 0,5
Contoh : Untuk kelas ke-3 Tb = 45+44 = 44,5 ; Ta = 49+50 = 49,5
2 2
Atau Tb = 45-0,5 = 44,5 ; Ta = 49+0,5 = 49,5
(6) Titik tengah (xi)
xi = Bb + Ba
2
Titik tengah kelas ke-1 = 35+39 = 37
2
(7) Panjang kelas /interval kelas ( p )
Adalah selisih antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas
P = Ta – Tb atau p = Bb kelas sesudah – Bb kelas itu
Contoh : panjang kelas kelas ke-4 = 54,5 – 49,5 = 5
B. Menyajikan data dalam bentuk Diagram
a. Diagram batang : cara menyajikan data yang diagramnya berbentuk persegi panjang
tegak ataupun persegi panjang mendatar ayng lebarnya sama.Skala pada sumbu
tegak dan datar tidak perlu sama.
Contoh : BANYAK SISWA TAHUN 1990
1500 -
1000 -
750 -
500 -
SD SMP SMK SMU
b. Diagram garis : Cara menyajikan data dengan menggunakan garis yng diperoleh
dengan menghubungkan pasangan bilangan yang didpat dari data.
Contoh : Jumlah siswa yang absen selama 1 minggu
F
5- .
4- .
3- .
2- .
1- . .
sn sl rb km jm sb .
hari
c. Diagram lingkaran : lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran. Luas masing
masing juring sesuai dengan sudut pusat lingkaran.
Contoh : Hasil penjualan suatu toko besi tahun 1986 selama 3 bulan
Jenis barang Banyaknya
Semen
Tegel
Besi
Lain-lain 25%
15%
20%
40%
Besar sudut untuk semen ; 25% x 3600 = 900
Tegel : 15% x 3600 = 540
Besi : 20% x 3600 = 720
Dan seterusnya
d. Diagram lambang(piktogram) : Digunakan dalam menyajikan data untuk suatu
perbandingan objek-objek tertentu.
Contoh : Penjualan cat dalam kaleng pada tahun 2001/2002 dalam satuan ton
2001 2002
e. Histogram, Poligon frekuensi
Histogram adalah sekumpulan persegi panjang yang alasnya merupakan panjang
kelas dan tingginya merupakan frekuensi masing-masing kelas.
Poligon frekuensi digambarkan dengan garis yang ditarik dari titik tengah ujung
batang histogram.
Contoh : Nilai tes matematika kelas 3 listrik SMK N 1 ADIWERNA tahun 2004/2005
f
Histogram
20-
15-
10- poligon frekuensi
5 -
64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5 nilai
Statistik adalah gambaran tentang suatu kumpulan data dalam bentuk sebuah nilai
Sedangkan statistika adalah Ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara
pengumpulan data, pengolahan, penganalisaan data serta pembuatan kesimpulan yang
cukup beralasan berdasarkan data dan penganalisaan yang dilakukan.
B. Pengertian populasi dan sampel
Populasi adalah seluruh obyek yang akan diteliti
Sampel adalah sebagian dari populasi yang benar-benar diamati.
C. Macam-macam data
a. Data kualitatif : data yang menunjukkan sifat atau keadaan objek.
Contoh : data tentang mutu atau kualitas padi gabah kering
b. Data kuantitatif : data yang menunjukkan jumlah ukuran objek.
Contoh : data tentang banyak petak sawah untuk masing-masing desa di lima desa
yang dijadikan tempat penelitian.
A. Menyajikan data dalam bentuk tabel
Data yang sudah diperoleh disusun dan disajikan dalam susunan baris dan kolom
sehingga akan tampak lebih jelas dan cepat dibaca daripada disajikan dengan kalimat
biasa.
Penyajian data dalam bentuk daftar/tabel dapat dibuat dalam bentuk :
a. Daftar baris kolom
Contoh : HASIL EBTA SMK N I ADIWERNA TAHUN 2002
JURUSAN LULUS TIDAK LULUS JUMLAH
Bangunan
Elektro
Otomotif 45
48
50 5
2
0 50
50
50
b. Daftar distribusi frekuensi
(i) Daftar distribusi frekuensi tunggal
adalah bentuk daftar pengelompokkan frekuensi berdasarkan nilai data yang
sama.
Contoh : DAFTAR NILAI ULANGAN MATEMATIKA
NILAI FREKUENSI
50
60
70
80
90 6
8
14
6
6
JUMLAH 40
(ii) Daftar distribusi frekuensi berkelompok
adalah daftar distribusi frekuensi yang pengelompokan nilai datanya dibuat
dalam bentuk interval.
Contoh : DAFTAR BERAT BADAN 50 SISWA (dalam kg)
BERAT BADAN BANYAK SISWA
35 – 39
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 - 64 4
5
9
15
12
5
JUMLAH 50
Dari daftar distribusi diatas kita kenal istilah :
(1) Kelas (k) :
Data diatas terbagi menjadi 6 kelas
kelas ke-1 : 35-39
kelas ke-2 : 40-44 dst.
(2) Frekuensi (f)
Banyak data kelas ke-1 (f1) = 4
Banyak data kelas ke-2 (f2) = 5 ; dst.
(3) Jumlah data (n = ∑fi )
n = ∑fi = f1+f2+f3+f4+f5+f6 = 50
(4) Batas kelas : Terdiri dari batas bawah (Bb) dan batas atas (Ba)
Untuk kelas ke-1 : Bb = 35, Ba = 39
Untuk kelas ke-2 : Bb = 40, Ba = 44 ; dst.
(5) Tepi kelas (limit kelas) : Terdiri dari tepi bawah dan tepi atas
Tb = Bb kelas itu + Ba kelas sebelumnya
2
Ta = Ba kelas itu + Bb kelas sesudahnya
2
Atau Tb = Bb – 0,5
Ta = Ba + 0,5
Contoh : Untuk kelas ke-3 Tb = 45+44 = 44,5 ; Ta = 49+50 = 49,5
2 2
Atau Tb = 45-0,5 = 44,5 ; Ta = 49+0,5 = 49,5
(6) Titik tengah (xi)
xi = Bb + Ba
2
Titik tengah kelas ke-1 = 35+39 = 37
2
(7) Panjang kelas /interval kelas ( p )
Adalah selisih antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas
P = Ta – Tb atau p = Bb kelas sesudah – Bb kelas itu
Contoh : panjang kelas kelas ke-4 = 54,5 – 49,5 = 5
B. Menyajikan data dalam bentuk Diagram
a. Diagram batang : cara menyajikan data yang diagramnya berbentuk persegi panjang
tegak ataupun persegi panjang mendatar ayng lebarnya sama.Skala pada sumbu
tegak dan datar tidak perlu sama.
Contoh : BANYAK SISWA TAHUN 1990
1500 -
1000 -
750 -
500 -
SD SMP SMK SMU
b. Diagram garis : Cara menyajikan data dengan menggunakan garis yng diperoleh
dengan menghubungkan pasangan bilangan yang didpat dari data.
Contoh : Jumlah siswa yang absen selama 1 minggu
F
5- .
4- .
3- .
2- .
1- . .
sn sl rb km jm sb .
hari
c. Diagram lingkaran : lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran. Luas masing
masing juring sesuai dengan sudut pusat lingkaran.
Contoh : Hasil penjualan suatu toko besi tahun 1986 selama 3 bulan
Jenis barang Banyaknya
Semen
Tegel
Besi
Lain-lain 25%
15%
20%
40%
Besar sudut untuk semen ; 25% x 3600 = 900
Tegel : 15% x 3600 = 540
Besi : 20% x 3600 = 720
Dan seterusnya
d. Diagram lambang(piktogram) : Digunakan dalam menyajikan data untuk suatu
perbandingan objek-objek tertentu.
Contoh : Penjualan cat dalam kaleng pada tahun 2001/2002 dalam satuan ton
2001 2002
e. Histogram, Poligon frekuensi
Histogram adalah sekumpulan persegi panjang yang alasnya merupakan panjang
kelas dan tingginya merupakan frekuensi masing-masing kelas.
Poligon frekuensi digambarkan dengan garis yang ditarik dari titik tengah ujung
batang histogram.
Contoh : Nilai tes matematika kelas 3 listrik SMK N 1 ADIWERNA tahun 2004/2005
f
Histogram
20-
15-
10- poligon frekuensi
5 -
64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5 nilai
LOGIKA MATEMATIKA
A. Pernyataan dan Bukan Pernyataan ( Kalimat Terbuka )
1. Pengertian Logika
Logika adalah ilmu yang mempelajari asas-asas penelaran yang benar yang dipandang dari kebenaran dan kesalahan.
2. Pernyataan
Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil misalnya p,q ,r, s,….
Contoh pernyataan :
1) Matematika termasuk pelajaran ilmu pasti ( pernyataan benar )
2) 3 + 4 = 7 ( pernyataan benar )
3) Jika x = 4, maka x2 = 16 ( pernyataan benar )
4) Jika x2 = 16 maka x = 4 ( pernyataan salah karena ada -4 )
5) Semarang ibukota negara Indonesia
3. Bukan Pernyataan dan Kalimat Terbuka
Bukan Pernyataan adalah kalimat yang tidak mempunyai nilai benar atau salah.
Kalimat Terbuka adalah kalimat yang memuat variable atau peubah dan menjadi pernyataan jika variabelnya diganti dengan konstanta tertentu.
Contoh :
1) Apakah pelajaran matematika menyenangkan ? ( kal. Bukan pernyataan
tapi kal. Pertanyaan )
2) Jangan membuang sampah disembarang tempat ( kal. Bukan pernyataan )
3) x + 5 = 10 ( kalimat terbuka persamaan )
4) x + 3y > 6 ( kalimat terbuka pertidaksamaan )
5) Hapus papan tulis itu ! ( kal. Bukan pernyataan tapi kal. Perintah )
B. Operasi Logika Matematika dan Tabel Kebenaranya
1. Operasi Negasi ( Ingkaran )
Ingkaran dari suatu pernyataan benar adalah salah dan ingkaran dari suatu pernyataan salah adalah benar.
Simbol ingkaran adalah ~p atau –p
Kata penghubungan adalah “ Tidak “ , “ Bukan “ , “ Tidaklah benar “ , didepan suatu pernyataan dan disesuaikan dengan tata bahasa yang benar.
Tabel Kebenaran
p ~p
B S
S B
Contoh :
1) p : 3 + 4 = 7
-p : tidak benar 3 + 4 = 7
-p : 3 + 4 ≠ 7
2) q : Semua bilangan prima adalah ganjil
-q : Tidak semua bilangan prima adalah ganjil
-q : Beberapa bilangan prima bukan bilangan ganjil
2. Operasi Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan kata penghubung “ dan “ ditulis “ p dan q “ atau dengan symbol “ p ^ q “
Tabel Kebenaran
p q p ^ q
B B B
B S S
S B S
S S S
Keterangan :
Konjungsi akan bernilai benar apabila kedua pernyataannya bernilai benar.
Contoh :
1. p : 3 bilangan prima ( B )
q : 3 bilangan ganjil ( B )
p ^ q : tiga bilangan prima dan bilangan ganjil ( B )
3. Operasi Disjungsi
Disjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan kata penghubung “ atau “ ditulis “ p atau q “ dengan symbol “ p v q “
Tabel Kebenaran
p q p v q
B B B
B S B
S B B
S S S
Keterangan :
Disjungsi akan bernilai salah apabila kedua pernyataannya bernilai salah.
Contoh :
1. 2 adalah bilangan genap atau bilangan prima ( B )
2. 27 bilangan prima atau 9 + 18 = 27 ( B )
3. 100 bilangan prima atau bilangan ganjil ( S )
4. Operasi Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang berbentuk “ jika p, maka q “ diberi symbol “ p → q “
Dalam implikasi p → q maka pernyataan p disebut antesenden/sebab dan pernyataan q disebut konsekuen/akibat.
Tabel Kebenaran
p q P → q
B B B
B S S
S B B
S S B
Keterangan :
Implikasi akan bernilai salah apabila antesendenya benar dan konsekuennya salah
Contoh :
1. Jika segitiga ABC sama sisi, maka sudut-sudut segitiga ABC sama besar (B)
2. Jika 2 + 5 = 7, maka 2 + 6 = 7 ( S )
3. Jika 4 bilangan prima, maka 4 bilangan genap ( B )
5. Operasi Bi-Implikasi
Bi-Implikasi adalah pernyataan majemuk yang berbentuk “ p jika dan hanya jika q “ diberi symbol “ p ↔ q “
Tabel Kebenaran
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
Keterangan :
Bi-Implikasi akan bernilai benar apabila kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran sama.
Contoh :
1. Dua buah segitiga akan sebangun jika dan hanya jika sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga itu sama besar ( B )
2. X2 – 3X + 2 = 0 jika dan hanya jika X = 1 atau X = 2 ( B )
3. Semarang ibukota propinsi lampung jika dan hanya jika semarang kota di Sumatra. ( B )
6. Pernyatan Majemuk yang Ekuivalen
Ekuivalensi adalah dua pernyaatan majemuk atau lebih yang mempunyai nilai kebenaran sama.
Implikasi logis adalah pernyataan majemuk yang berbentuk implikasi yang tautology.
Bi-Implikasi logis ( ekuivalensi logis ) adalah pernyataan majemuk yang berbentuk bi-implikasi yang tautology.
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu salah.
Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya tidak selalu benar dan tidak selalu salah.
Tabel Kebenaran
p v –p adalah tautologi
p -p p v -p
B S B
S B B
p ^ -p adalah kontradiksi
p -p p ^ -p
B S S
S B S
p → -p adalah kontingensi
p -p p → -p
B S S
S B B
7. Negasi Pernyataan Majemuk
( p ^ q ) ≡ -p v -q
( p v q ) ≡ p ^ q
( p → q ) ≡ p ^ -q
( p ↔ q ) ≡ ( p ^ -q ) V ( -p ^ q )
Contoh ;
1. Tentukan negasi dari saya sedang main sepakbola atau tennis
2. Tentukan negasi dari saya rajin dan pintar
Jawab :
1. Saya tidak main sepakbola dan tidak tennis
2. Saya tidak rajin atau tidak pintar.
8. Pernyataan Berkuantor
Suatu kalimat terbuka yang disertakan kuantor dapat menjadi suatu pernyataan:
1. Kuantor Universal ( umum )
Lambang “ “ dibaca “ untuk semua “ atau “ untuk setiap “
Contoh :
1. Setiap kendaraan bermotor dilengkapi STNK dan BPKB ( B )
2. ( x Є R ) ( 2x + 8 = 12 ) ( S )
Dibaca untuk semua anggota bilangan real x sedemikian sehingga berlaku 2x + 8 = 12
2. Kuantor Eksistensial ( khusus )
Lambang “ Э “ dibaca “ ada “ atau “ beberapa “ , “ sebagian “
Contoh :
1. Beberapa siswa SMK tidak memakai seragam ( B )
2. Ada bilangan K sehingga 5 x K = 25 ( B )
3. ( Э x,y Є B ) ( x2 + y2 = 25 ) ( B )
Dibaca :Ada bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga berlaku x2 + y2 = 25
3. Negasi Pernyataan Berkuantor
Pernyataan Negasi / Ingkaran
Setiap/semua p adalah q
( x) ( p(x)) *Ada/beberapa p bukan q ( Эx) [ P(x)]
* Tidak benar bahwa setiap p berlaku q
[ ( x) ( p(x))]
Ada/beberapa p adalah q
(Эx) ( p(x)) * Semua/setiap p adalah q ( x) [ p(x)]
* Tidak benar bahwa beberapa p adalah q
[ (Эx) (p(x))]
Contoh :
1. p: Semua kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar bensin ( S )
-p : Tidak semua kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar bensin( B )
-p : Beberapa kendaraan bermotor tidak menggunakan bahan bakar
bensin(B)
2. ( x ЄR ) ( sin2 + cos2 = 1 )
-p : - ( xЄR ) ( sin2 + cos2 = 1 )
-p : (ЭxЄR) (sin2 + cos2 ≠ 1 )
C. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi baru, yaitu :
1. Konvers : q → p
2. Invers : -p → -q
3. Kontraposisi : -q → -p
Contoh :
Implikasi : Jika x bilangan ganjil, maka x2 bilangan genap
Konvers : Jika x2 bilangan genap, mak x bilangan ganjil
Invers : Jika x bilangan genap, maka x2 bilangan ganjil
Kontraposisi : Jika x2 bilangan ganjil, maka x bilangan genap
D. Penarikan Kesimpulan
Dalam proses pengambilan kesimpulan pernyataan-pernyataan disebut dengan PREMIS dan kesimpulannya disebut KONKLUSI.
Pernyataan yang sah itu yang tautology
1. Modus Ponens Contoh :
Premis I : p → q P I : Jika saklar ditekan, maka lampu menyala
Premis II : p P II : Saklar ditekan
Konklusi : q K : Lampu menyala
2. Modus Tollens
Premis I : p → q P I : Jika andi anak yang pandai, maka ia lulus ujian
Premis II : -q P II : Andi tidak lulus ujian
Konklusi : -p K : Andi anak yang bodoh
3. Sillogisme
Premis I : p → q P I : Jika ani rajin belajar, maka ia pandai
Premis II : q → r P II : Jika ani pandai, maka ia hidup bahagia
Konklusi : p → r K : Jika ani rajin belajar, maka ia hidup bahagia
1. Pengertian Logika
Logika adalah ilmu yang mempelajari asas-asas penelaran yang benar yang dipandang dari kebenaran dan kesalahan.
2. Pernyataan
Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil misalnya p,q ,r, s,….
Contoh pernyataan :
1) Matematika termasuk pelajaran ilmu pasti ( pernyataan benar )
2) 3 + 4 = 7 ( pernyataan benar )
3) Jika x = 4, maka x2 = 16 ( pernyataan benar )
4) Jika x2 = 16 maka x = 4 ( pernyataan salah karena ada -4 )
5) Semarang ibukota negara Indonesia
3. Bukan Pernyataan dan Kalimat Terbuka
Bukan Pernyataan adalah kalimat yang tidak mempunyai nilai benar atau salah.
Kalimat Terbuka adalah kalimat yang memuat variable atau peubah dan menjadi pernyataan jika variabelnya diganti dengan konstanta tertentu.
Contoh :
1) Apakah pelajaran matematika menyenangkan ? ( kal. Bukan pernyataan
tapi kal. Pertanyaan )
2) Jangan membuang sampah disembarang tempat ( kal. Bukan pernyataan )
3) x + 5 = 10 ( kalimat terbuka persamaan )
4) x + 3y > 6 ( kalimat terbuka pertidaksamaan )
5) Hapus papan tulis itu ! ( kal. Bukan pernyataan tapi kal. Perintah )
B. Operasi Logika Matematika dan Tabel Kebenaranya
1. Operasi Negasi ( Ingkaran )
Ingkaran dari suatu pernyataan benar adalah salah dan ingkaran dari suatu pernyataan salah adalah benar.
Simbol ingkaran adalah ~p atau –p
Kata penghubungan adalah “ Tidak “ , “ Bukan “ , “ Tidaklah benar “ , didepan suatu pernyataan dan disesuaikan dengan tata bahasa yang benar.
Tabel Kebenaran
p ~p
B S
S B
Contoh :
1) p : 3 + 4 = 7
-p : tidak benar 3 + 4 = 7
-p : 3 + 4 ≠ 7
2) q : Semua bilangan prima adalah ganjil
-q : Tidak semua bilangan prima adalah ganjil
-q : Beberapa bilangan prima bukan bilangan ganjil
2. Operasi Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan kata penghubung “ dan “ ditulis “ p dan q “ atau dengan symbol “ p ^ q “
Tabel Kebenaran
p q p ^ q
B B B
B S S
S B S
S S S
Keterangan :
Konjungsi akan bernilai benar apabila kedua pernyataannya bernilai benar.
Contoh :
1. p : 3 bilangan prima ( B )
q : 3 bilangan ganjil ( B )
p ^ q : tiga bilangan prima dan bilangan ganjil ( B )
3. Operasi Disjungsi
Disjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan kata penghubung “ atau “ ditulis “ p atau q “ dengan symbol “ p v q “
Tabel Kebenaran
p q p v q
B B B
B S B
S B B
S S S
Keterangan :
Disjungsi akan bernilai salah apabila kedua pernyataannya bernilai salah.
Contoh :
1. 2 adalah bilangan genap atau bilangan prima ( B )
2. 27 bilangan prima atau 9 + 18 = 27 ( B )
3. 100 bilangan prima atau bilangan ganjil ( S )
4. Operasi Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang berbentuk “ jika p, maka q “ diberi symbol “ p → q “
Dalam implikasi p → q maka pernyataan p disebut antesenden/sebab dan pernyataan q disebut konsekuen/akibat.
Tabel Kebenaran
p q P → q
B B B
B S S
S B B
S S B
Keterangan :
Implikasi akan bernilai salah apabila antesendenya benar dan konsekuennya salah
Contoh :
1. Jika segitiga ABC sama sisi, maka sudut-sudut segitiga ABC sama besar (B)
2. Jika 2 + 5 = 7, maka 2 + 6 = 7 ( S )
3. Jika 4 bilangan prima, maka 4 bilangan genap ( B )
5. Operasi Bi-Implikasi
Bi-Implikasi adalah pernyataan majemuk yang berbentuk “ p jika dan hanya jika q “ diberi symbol “ p ↔ q “
Tabel Kebenaran
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
Keterangan :
Bi-Implikasi akan bernilai benar apabila kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran sama.
Contoh :
1. Dua buah segitiga akan sebangun jika dan hanya jika sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga itu sama besar ( B )
2. X2 – 3X + 2 = 0 jika dan hanya jika X = 1 atau X = 2 ( B )
3. Semarang ibukota propinsi lampung jika dan hanya jika semarang kota di Sumatra. ( B )
6. Pernyatan Majemuk yang Ekuivalen
Ekuivalensi adalah dua pernyaatan majemuk atau lebih yang mempunyai nilai kebenaran sama.
Implikasi logis adalah pernyataan majemuk yang berbentuk implikasi yang tautology.
Bi-Implikasi logis ( ekuivalensi logis ) adalah pernyataan majemuk yang berbentuk bi-implikasi yang tautology.
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu salah.
Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya tidak selalu benar dan tidak selalu salah.
Tabel Kebenaran
p v –p adalah tautologi
p -p p v -p
B S B
S B B
p ^ -p adalah kontradiksi
p -p p ^ -p
B S S
S B S
p → -p adalah kontingensi
p -p p → -p
B S S
S B B
7. Negasi Pernyataan Majemuk
( p ^ q ) ≡ -p v -q
( p v q ) ≡ p ^ q
( p → q ) ≡ p ^ -q
( p ↔ q ) ≡ ( p ^ -q ) V ( -p ^ q )
Contoh ;
1. Tentukan negasi dari saya sedang main sepakbola atau tennis
2. Tentukan negasi dari saya rajin dan pintar
Jawab :
1. Saya tidak main sepakbola dan tidak tennis
2. Saya tidak rajin atau tidak pintar.
8. Pernyataan Berkuantor
Suatu kalimat terbuka yang disertakan kuantor dapat menjadi suatu pernyataan:
1. Kuantor Universal ( umum )
Lambang “ “ dibaca “ untuk semua “ atau “ untuk setiap “
Contoh :
1. Setiap kendaraan bermotor dilengkapi STNK dan BPKB ( B )
2. ( x Є R ) ( 2x + 8 = 12 ) ( S )
Dibaca untuk semua anggota bilangan real x sedemikian sehingga berlaku 2x + 8 = 12
2. Kuantor Eksistensial ( khusus )
Lambang “ Э “ dibaca “ ada “ atau “ beberapa “ , “ sebagian “
Contoh :
1. Beberapa siswa SMK tidak memakai seragam ( B )
2. Ada bilangan K sehingga 5 x K = 25 ( B )
3. ( Э x,y Є B ) ( x2 + y2 = 25 ) ( B )
Dibaca :Ada bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga berlaku x2 + y2 = 25
3. Negasi Pernyataan Berkuantor
Pernyataan Negasi / Ingkaran
Setiap/semua p adalah q
( x) ( p(x)) *Ada/beberapa p bukan q ( Эx) [ P(x)]
* Tidak benar bahwa setiap p berlaku q
[ ( x) ( p(x))]
Ada/beberapa p adalah q
(Эx) ( p(x)) * Semua/setiap p adalah q ( x) [ p(x)]
* Tidak benar bahwa beberapa p adalah q
[ (Эx) (p(x))]
Contoh :
1. p: Semua kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar bensin ( S )
-p : Tidak semua kendaraan bermotor menggunakan bahan bakar bensin( B )
-p : Beberapa kendaraan bermotor tidak menggunakan bahan bakar
bensin(B)
2. ( x ЄR ) ( sin2 + cos2 = 1 )
-p : - ( xЄR ) ( sin2 + cos2 = 1 )
-p : (ЭxЄR) (sin2 + cos2 ≠ 1 )
C. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi baru, yaitu :
1. Konvers : q → p
2. Invers : -p → -q
3. Kontraposisi : -q → -p
Contoh :
Implikasi : Jika x bilangan ganjil, maka x2 bilangan genap
Konvers : Jika x2 bilangan genap, mak x bilangan ganjil
Invers : Jika x bilangan genap, maka x2 bilangan ganjil
Kontraposisi : Jika x2 bilangan ganjil, maka x bilangan genap
D. Penarikan Kesimpulan
Dalam proses pengambilan kesimpulan pernyataan-pernyataan disebut dengan PREMIS dan kesimpulannya disebut KONKLUSI.
Pernyataan yang sah itu yang tautology
1. Modus Ponens Contoh :
Premis I : p → q P I : Jika saklar ditekan, maka lampu menyala
Premis II : p P II : Saklar ditekan
Konklusi : q K : Lampu menyala
2. Modus Tollens
Premis I : p → q P I : Jika andi anak yang pandai, maka ia lulus ujian
Premis II : -q P II : Andi tidak lulus ujian
Konklusi : -p K : Andi anak yang bodoh
3. Sillogisme
Premis I : p → q P I : Jika ani rajin belajar, maka ia pandai
Premis II : q → r P II : Jika ani pandai, maka ia hidup bahagia
Konklusi : p → r K : Jika ani rajin belajar, maka ia hidup bahagia
Langganan:
Postingan (Atom)